Arbres avec 6 arêtes


Arbres rationnels

Les coefficients des polynômes de Shabat des 9 arbres suivants sont rationnels :

Polynômes de Shabat :


Le cas 6 des arbres de passeport < 4 1 1 ; 2 2 1 1 > (ie. un sommet noir est de degré 4, deux sommets blancs sont de degré 2, et tous les autres sommets sont des feuilles) est intéressant : il y a en effet deux arbres combinatoires pour cet assortiment de degrés, mais chacun est rationnel.


Arbres conjugués

Il y a deux orbites d'arbres conjugués, l'une de cardinal 2, l'autre de cardinal 3 ; ce sont les plus petits exemples d'orbites.

Les deux arbres combinatoires de type:

< 3 2 1 ; 3 1 1 1 >
(ie. un sommet noir est de degré 3, un autre de degré 2, un sommet blanc est de degré 3, et tous les autres sommets sont des feuilles) sont symétriques par rapport à un axe. Il est donc prévisible que les coefficients de leurs polynômes de Shabat appartiennent à un corps quadratique imaginaire ; le calcul donne en effet :

et



Les trois arbres combinatoires de type:

< 3 2 1 ; 2 2 1 1 >
ont pour polynômes de Shabat :

a est racine du polynôme irréductible :

Le premier des trois arbres dessinés correspond à la racine a réelle, les deux autres (symétriques par rapport à un axe) aux racines complexes conjuguées.


Retour à la présentation du catalogue.