Arbres avec 8 arêtes : résumé

Dans la table ci-dessous, "orbite rationnelle" est une abréviation pour "orbite réduite à un élément", ce qui équivaut à dire que "les coefficients du polynôme de Shabat sont rationnels". De même, "orbite quadratique réelle" est une abréviation pour dire que "les coefficients du polynôme de Shabat appartiennent à un corps (de nombres algébriques) quadratique réel", etc.

Il y a 30 passeports possibles pour les arbres avec 8 arêtes. L'ordre des passeports utilisé pour ce catalogue est plutôt arbitraire, désolé. C'est celui de la version papier originale, et le modifier pour la version électronique entraînerait des modifications d'images, car hélas les numéros des passeports y sont incrustés ; le jeu n'en vaut pas la chandelle.

Numéro Passeport Orbite(s)
Passeports 1 à 7 1 8 ; 1 1 1 1 1 1 1 1 rationnelle
2 7 1 ; 2 1 1 1 1 1 1 rationnelle
3 6 2 ; 2 1 1 1 1 1 1 rationnelle
4 5 3 ; 2 1 1 1 1 1 1 rationnelle
5 4 4 ; 2 1 1 1 1 1 1 rationnelle
6 6 1 1 ; 3 1 1 1 1 1 rationnelle
7 6 1 1 ; 2 2 1 1 1 1 deux orbites,
l'une quadratique réelle,
l'autre rationnelle
Passeports 8 à 11 8 5 2 1 ; 3 1 1 1 1 1 quadratique imaginaire
9 5 2 1 ; 2 2 1 1 1 1 ordre 5
10 4 3 1 ; 3 1 1 1 1 1 quadratique imaginaire
11 4 3 1 ; 2 2 1 1 1 1 ordre 5
Passeports 12 à 17 12 4 2 2 ; 3 1 1 1 1 1 rationnelle
13 4 2 2 ; 2 2 1 1 1 1 deux orbites,
l'une quadratique réelle,
l'autre rationnelle
14 3 3 2 ; 3 1 1 1 1 1 rationnelle
15 3 3 2 ; 2 2 1 1 1 1 deux orbites,
l'une quadratique imaginaire,
l'autre rationnelle
16 5 1 1 1 ; 4 1 1 1 1 rationnelle
17 5 1 1 1 ; 3 2 1 1 1 ordre 4
Passeports 18 et 19 18 5 1 1 1 ; 2 2 2 1 1 quadratique réelle
19 4 2 1 1 ; 4 1 1 1 1 cubique
Passeport 20 20 4 2 1 1 ; 3 2 1 1 1 ordre 12
Passeports 21 et 22 21 4 2 1 1 ; 2 2 2 1 1 ordre 6
22 3 3 1 1 ; 4 1 1 1 1 deux orbites rationnelles
Passeports 23 et 24 23 3 3 1 1 ; 3 2 1 1 1 ordre 6
24 3 3 1 1 ; 2 2 2 1 1 deux orbites quadratiques,
l'une imaginaire, l'autre réelle
Passeport 26 26 3 2 2 1 ; 3 2 1 1 1 ordre 12
Passeports 25, 27 à 30 25 3 2 2 1 ; 4 1 1 1 1 cubique
27 3 2 2 1 ; 2 2 2 1 1 ordre 6
28 2 2 2 2 ; 4 1 1 1 1 rationnelle
29 2 2 2 2 ; 3 2 1 1 1 rationnelle
30 2 2 2 2 ; 2 2 2 1 1 rationnelle
(polynôme de Tchebycheff)

Note : dans cette partie du catalogue, nous ne donnons pas les polynômes de Shabat, et encore moins les calculs intermédaires. Ceux-ci s'exécutent sans difficulté supplémentaire avec Maple, exactement comme dans le cas des arbres avec 7 arêtes ; le calcul d'une base de Groebner est souvent inévitable, mais reste rapide. Nous avons choisi d'omettre les résultats à cause de l'inévitable explosion combinatoire : par exemple, dans le cas du passeport 20, les coefficients du polynôme de Shabat sont situés dans le corps de nombres définis par le polynôme irréductible

[Maple Math] [Maple Math]

Une session Maple complète pour ce cas, y compris une procédure de dessin, est disponible.