Des problèms sur les réseaux exprimés en programmes
linéaires
Classement
Flot maximum
pourquoi le PL est (très) dégénéré
Donc à un sommet où il y a flux nul, les équations
xi=0 et celle de conservation sont vérifiées;
mais la dernière est conséquence des autres!
L'algorithme de Floyd et Fulkerson
Flot maximum
Basé sur l'idée d'une chaîne augmentante: une suite de changements possibles ±a dans une chaîne d'arcs dont le résultat est de transférer quantité a de la source à un autre sommet.
NB: l'augmentation dans une chaîne augmentante peut diminuer le flux dans certains arcs!
Facile de trouver des chaînes augmentantes dans un arbre enraciné à la source
Si on trouve une chaîne augmentante au puits, on peut
augmenter le flot actuel (initialisé à 0)
par le minimum des changements possibles sur les arcs
de la chaîne
Sinon on a trouvé un flot maximum.
La coupe minimum
Un exemple
Le temps de calcul
Chaque itération (sauf la dernière) augmente le flot
Donc le nombre d'itérations est borné par le flot maximum trouvé (+1), donc par la somme des capacités des arcs sortant de la source (ou entrant dans le puits)
Donc temps total raisonnable si les capacités sont petites
Un algorithme pseudo-polynomial
Peut être pire que le simplexe quand les capacités sont élevées.
Il existe des algorithmes plus complexes qui évitent ce défaut en cherchant la bonne chaîne augmentante à chaque itération. ...
Rapport aux méthodes de parcours des solutions de base
...?
Non. Il peut trouver un flot maximum qui n'est pas une solution de base du PL.
(Considérer un réseau ne possédant que deux chemins source - X de capacités 1 chacun et deux chemins X - puits de capacité 2.)
L'algorithme de Dinic
Un algorithme qui trouve le flot maximum
en temps polynomial
Pour l'itération d, il construit un nouveau graphe qui est une copie partielle de celui du réseau mais qui ne contient que les arcs susceptibles d'être inclus dans une chaîne augmentante de longueur d
Il utilise ce graphe pour chercher une chaîne augmentante de longueur d (et termine cette itération s'il n'y en a pas)
Après chaque augmentation, il découpe du graphe tout arc
dont le flux vient d'être réduit à nul ou augmenté
à sa capacité
(et aussi tout autre arc qui n'est plus utile pour construire
des chaînes augmentantes).
Flot maximum avec coût minimum
L'algorithme de Busacker et Gowen
A chaque itération construire un graphe R qui dépend du flot actuel f et le graphe du réseau G: si G a un arc (x,y) avec coût c,
On cherche un chemin de la source au puits avec une valeur minimum
s'il existe on augment le flot selon la chaîne augmentante
correspondant
sinon l'algorithme termine.
Cette recherche est effectuée par un algorithme bien connu de recherche du plus court chemin entre deux sommets (seul complication ici, arcs de ``distance'' négative mais c'est pas grave)
La raison pour laquelle cet algorithme réussit est plus
compliquée,
en particulier, si on commencait d'un flot aléatoire,
il ne serait pas garanti qu'on arrive á un flot optimal;
mais, en commençant au flot nul, oui.