Jean-Christophe AVAL
Jean-Christophe Aval Chargé de Recherches (CNRS)

Équipe LaBRI : Combinatoire et Algorithmique
Fonction administrative :
Courrier électronique : jean-christophe.avalarobaselabri.fr
Bureau : 316
Tél : +33 (0)5 40 00 35 29


Recherche

1. Conjecture n! et généralisations.
Il s'agit de travaux concernant le problème de Combinatoire algébrique appelé Conjecture n! (prouvée depuis par
M. Haiman). Ma principale contribution à cette question est l'étude de certains idéaux de polynômes, les idéaux
annulateurs. L'originalité de mon approche repose sur deux outils : l'étude d'opérateurs de sauts (outil "combinatoire"),
et l'utilisation de bases de Gröbner (outil "algorithmique"). Cette méthode m'a permis de résoudre plusieurs cas particuliers
de la conjecture.

2. Fonctions quasisymétriques.
Ce sont des travaux menés en partie en collaboration avec F. Bergeron (UQAM, Montréal), et N. Bergeron (York, Toronto).
Les fonctions quasisymétriques ont été introduites par I. Gessel ; elles généralisent les fonctions symétriques. Nous nous
sommes intéressés à l'espace coinvariant associé, SC(n). Notre résultat central s'exprime ainsi : la dimension de SC(n) est
égal au nombre de chemins de Dyck (classes de chemins ultra-classiques en combinatoire), soit :
dim SC(n) = C(n) (1)
où $C(n)$ est le nombre de Catalan, énumérant les chemins de Dyck. De plus nous obtenons une description explicite
d'une base de $SC(n)$ en bijection avec les chemins de Dyck.

4. Projet MARS.
Le projet MARS est un projet ANR (2006-2009), porté par X. Viennot (LaBRI). Son titre est "Matrices à signes alternants et
conjecture de Razumov-Stroganov". Les matrices à signes alternants (ASM) sont des objets combinatoires qui ont suscité
une vive activité de recherche depuis leur introduction en 1982 par W. Mills, D. Robbins et H. Rumsey. La preuve de leur
énumération par D. Zeilberger n'a pas arrêté les recherches relatives aux ASM, qui connaissent même un regain depuis leur
apparition (inattendue) dans des questions de physique théorique telle que la conjecture de Razumov-Stroganov. Mes
principaux résultats jusqu'à présent :
* Sous l'impulsion d'A. Lascoux (IGM - UMR 8049), je me suis intéressé aux clés associées aux ASM. Une clé est une
ASM particulière, à savoir une matrice de permutation. J'ai montré la coïncidence de deux notions de clés introduites par
Lascoux et Schützenberger, et généralisé la méthode de calcul des clés aux tableaux de Young. J'en ai tiré des résultats
énumératifs sur les ASM.
* En collaboration avec X. Viennot, j'ai décrit la multiplication d'arbres dans l'algèbre de Loday-Ronco très simplement
à l'aide de tableaux de Catalan (définis par Viennot).
* Le résultat suivant concerne l'énumération de matrices à signes alternants invariantes par quart-de-tour (QTASM).
C'est une collaboration avec P. Duchon (LaBRI). Ce dernier a introduit des QTASM de taille 4n+2, analogues de celle déjà
définies pour les autres tailles (modulo 4) par D. Robbins. En utilisant les techniques qui ont permis à G. Kuperberg de
donner la deuxième preuve de l'énumération des ASM, à savoir l'étude de la fonction de partition d'un modèle de glace
carrée, en bijection avec les ASM considérées, nous avons pu obtenir la remarquable formule suivante :
AQT(4n+2) = A(n). A(n+1). AHT(2n+1) (2)
où A(l), AHT(l) et AQT(l) désignent respectivement le nombre d'ASM, de HTASM (invariance par demi-tour), et de QTASM
de taille l. La formule $(2)$ est l'analogue de formules conjecturées par Robbins et prouvées par Kuberberg, et Razumov
et Stroganov, pour les autres tailles (modulo 4).
* J'ai pu prouver de façon fort simple le résultat suivant, dû à Stroganov : la fonction de partition des ASM est symétrique
par rapport à toutes ses variables, pour la valeur particulière du paramètre a=exp(i Pi/3). C'est un résultat qui intervient
de façon prépodérante dans la méthode de Kuperberg pour calculer les fonctions de partition des différentes classes de
symétries d'ASM. Un intérêt de ma preuve est sa grande portabilité : elle peut en effet s'adapter à de nombreux autres
contextes (paramètres spectraux scindés, HTASM...).

Encadrement

TOUT, Omar (2011-), doctorant MENRT, Université Bordeaux 1, co-encadrée (50%) avec Valentin Féray, LaBRI.

Extrait de publications













Administration

(2005-) : membre de la commission de la bibliothèque de recherche en Mathématiques et Informatique.
(2008-2011) : responsable du thème "Combinatoire énumérative et algébrique" du LaBRI.
(2008-) : membre du conseil d'administration du Service Commun de Documentation de l'Université Bordeaux 1.
(2008-2011) : membre du conseil scientifique du LaBRI.

Comité de programme & Comité d'organisation

2008 : membre du comité de programme de la conférence "Formal Power Series and Algebraic Combinatorics" FPSAC'08, Chili.
2012 : membre du comité de programme de la conférence "Formal Power Series and Algebraic Combinatorics" FPSAC'12, Japon.

Diffusion

2009 : création et organisation des "Journées de Combinatoire de Bordeaux".
2010 : organisation des "Journées de Combinatoire de Bordeaux".
2011 : organisation des "Journées de Combinatoire de Bordeaux".
2012 : organisation des "Journées de Combinatoire de Bordeaux".

Expertise

2009 : membre du comité de sélection du poste 25 MC n° 0415, université Bordeaux 1.
2010 : expert pour l'ANR sur l'appel à dossier Blanc.
2010 : membre du comité de sélection du poste 25 MC n° 9004, université Paris 13.
2010 : membre du comité de sélection du poste 25 MC n° 0955, université Bordeaux 1.
2011 : membre du jury de thèse de Jean-Paul Bultel, université Paris-Est.


Page mise à jour le 13/08/2010 à 10:56