Arbres avec 7 arêtes, passeports 12 à 15

On appelle passeport un assortiment de degrés.

Le passeport 12 correspond à deux arbres, non symétriques. On peut donc attendre une orbite quadratique associée à un corps quadratique réel. On pose :

[Maple Math]

et on obtient les équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :

[Maple Math]

Le calcul d'une base de Groebner (ou toute autre méthode d'élimination) fournit la relation :

[Maple Math]

Fixer a1 = 0 implique a0 = 0, et ne convient pas ; on peut donc sans risque poser a1 = 1, d'où le polynôme de Shabat :

[Maple Math]

u désigne l'une des racines du polynôme :

[Maple Math]

qui sont :

[Maple Math]

Le corps de définition est un corps quadratique réel comme prévu.


Le passeport 13 correspond à un seul arbre, les coefficients du polynôme de Shabat seront donc rationnels. On pose (en respectant la symétrie du passeport) :

[Maple Math]

et on obtient les équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :

[Maple Math]

d'où le polynôme de Shabat (après développement):

[Maple Math]

Noter qu'exceptionnellement ce polynôme ne s'annule pas en 0, car nous avons choisi de respecter la symétrie du passeport, en plaçant les sommets de degré 4 en -1 et 1.


Le passeport 14 correspond à trois arbres. On pose :

[Maple Math]

et on obtient les équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :

[Maple Math]

d'où le polynôme de Shabat :

[Maple Math]

b est racine du polynôme cubique irréductible :

[Maple Math]

obtenu en éliminant les ci entre les trois dernières équations. Ce polynôme admet une seule racine réelle, le dessin correspondant est celui du haut ; les deux autres dessins, symétriques par réflexion, correspondent aux racines complexes conjuguées.


Le passeport 15 correspond à un seul arbre, les coefficients du polynôme de Shabat seront donc rationnels. On pose :

[Maple Math]

et on obtient les équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :

[Maple Math]

d'où le polynôme de Shabat :

[Maple Math]