Il existe 9 arbres combinatoires pour
le passeport 16,
on pose :
et on obtient les équations
(chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :
Le calcul d'une base de Groebner
fournit a comme racine du polynôme :
qui se factorise comme indiqué ci-dessus.
La même base de Groebner permet de calculer les bi :
et il y a donc une orbite de trois arbres
(colonne de gauche sur le dessin)
dont les polynômes de Shabat sont :
où a désigne l'une des racines du polynôme :
Les bi , donnés initialement comme des polynômes
de degré 8 en fonction de a,
ont été réduits modulo ce polynôme,
qui définit un corps (de nombres algébriques) cubique.
La seconde orbite comporte six arbres
(colonne du milieu sur le dessin)
dont les polynômes de Shabat sont :
où a désigne l'une des racines du polynôme :
Les bi , donnés initialement comme des polynômes
de degré 8 en fonction de a,
ont été réduits modulo ce polynôme.
Par ailleurs celui-ci n'admet pas de racine réelle,
et donc les 6 arbres peuvent être regroupés en trois paires
d'arbres symétriques, ce que le dessin confirme
(même si, désolé, le premier est le symétrique du quatrième).
Le passeport 17 correspond à trois arbres.
On pose :
et on obtient les équations
(chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :
d'où le polynôme de Shabat :
où u est racine du polynôme cubique :
qui admet une racine réelle
(arbre du haut sur le dessin) et deux racines complexes conjuguées
(arbres du bas, déduits l'un de l'autre par réflexion par rapport à l'axe des x).
Le polynôme de Shabat qui correspond au
passeport 18 est un polynôme de Tchebycheff :
Noter qu'exceptionnellement les valeurs critiques
choisies sont -1 et 1.