Arbres avec 7 arêtes, passeports 16 à 18

On appelle passeport un assortiment de degrés.

Il existe 9 arbres combinatoires pour le passeport 16, on pose :

[Maple Math]

et on obtient les équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :

[Maple Math]

Le calcul d'une base de Groebner fournit a comme racine du polynôme :

[Maple Math] [Maple Math]

qui se factorise comme indiqué ci-dessus. La même base de Groebner permet de calculer les bi :

[Maple Math] [Maple Math]

et il y a donc une orbite de trois arbres (colonne de gauche sur le dessin) dont les polynômes de Shabat sont :

[Maple Math]

a désigne l'une des racines du polynôme :

[Maple Math]

Les bi , donnés initialement comme des polynômes de degré 8 en fonction de a, ont été réduits modulo ce polynôme, qui définit un corps (de nombres algébriques) cubique.

La seconde orbite comporte six arbres (colonne du milieu sur le dessin) dont les polynômes de Shabat sont :

[Maple Math]

a désigne l'une des racines du polynôme :

[Maple Math]

Les bi , donnés initialement comme des polynômes de degré 8 en fonction de a, ont été réduits modulo ce polynôme. Par ailleurs celui-ci n'admet pas de racine réelle, et donc les 6 arbres peuvent être regroupés en trois paires d'arbres symétriques, ce que le dessin confirme (même si, désolé, le premier est le symétrique du quatrième).


Le passeport 17 correspond à trois arbres. On pose :

[Maple Math]

et on obtient les équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :

[Maple Math]

d'où le polynôme de Shabat :

[Maple Math]

u est racine du polynôme cubique :

[Maple Math]

qui admet une racine réelle (arbre du haut sur le dessin) et deux racines complexes conjuguées (arbres du bas, déduits l'un de l'autre par réflexion par rapport à l'axe des x).


Le polynôme de Shabat qui correspond au passeport 18 est un polynôme de Tchebycheff :

[Maple Math]

Noter qu'exceptionnellement les valeurs critiques choisies sont -1 et 1.