Travaux pratiques : équations numériques Université Bordeaux I Module I20

Travaux pratiques, semaine 4


Equations numériques


  1. La fonction dichotomie vue en cours s'écrit :

    double dichotomie (
      double f (double),
      double a, double b,
      double epsilon
    ) {
      double c;
      
      while (b - a > epsilon) {
        c = (a + b) / 2;
        if (f(c) < 0)
          a = c;
        else
          b = c;
      }
      return b;
    }
    

    Elle est correcte si f(a) < 0 et f(b) > 0. Modifier aussi simplement que possible cette fonction pour qu'elle soit correcte dès que f(a) et f(b) sont de signes contraires.

  2. Vérifier expérimentalement que le nombre d'itérations nécessaires pour calculer une valeur approchée à 10-n près, par la méthode de dichotomie, est proportionnel à n : afficher (ou noter à la main, en utilisant les outils de mise au point de Turbo-C) les résultats obtenus (nombres d'itérations) pour n = 2,4,6,8,10,12,14 et les équations suivantes :
    sinx = 1
    2
     , x Î [0 1.5]
    x2 = 2 , x Î [1 2]
    ex = 2 , x Î [0 1]

  3. La méthode de Lagrange calcule de la suite récurrente suivante :
    x0 = a , x1 = b
    xn+1 = xn-1 f(xn) - xn f(xn-1)
    f(xn)-f(xn-1)
    et on peut prouver que, lorsque xn est suffisamment proche de x tel que f(x) = 0 , on a :
    xn+1-x ~ K (xn-x) (xn-1-x)   avec K = f¢¢(x)
    2f¢(x)
    Vérifier expérimentalement ce résultat sur les exemples de l'exercice 2. Examiner l'évolution du nombre de décimales exactes en fonction du nombre d'itérations.

  4. La méthode de Newton calcule la suite récurrente suivante :
    x0 = a , xn+1 = xn - f(xn)
    f¢(xn)
    et on peut prouver que, lorsque xn est suffisamment proche de x tel que f(x) = 0 , on a :
    xn+1-x ~ K (xn-x)2   avec K = f¢¢(x)
    2f¢(x)
    Vérifier expérimentalement ce résultat sur les exemples de l'exercice 2. Examiner l'évolution du nombre de décimales exactes en fonction du nombre d'itérations.


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On 20 Sep 1999, 17:52.