Le vendredi, de 9h30 à 10h30, dans l'amphithéâtre du LaBRI
le 28 avril, les 5 et 12 mai 2000, les 9 et 16 juin : Mireille Bousquet-Mélou
Chemins auto-évitants en grande dimension
Un chemin auto-évitant sur un graphe régulier (le réseau hypercubique Z^d
le plus souvent) suit les arêtes du graphe sans visiter plusieurs fois le
même sommet.
Le problème central est la détermination (l'estimation, devrais-je dire,
vue la difficulté du problème) du nombre c_n de tels chemins de longueur n,
considérés à translation près.
On s'intéresse également à d'autres grandeurs "physiques", comme la vitesse
à laquelle ces chemins s'éloignent de leur point de départ.
On s'attend à un comportement asymptotique de la forme
c_n == c^n n^r,
à une constante multiplicative près.
Hara et Slade ont prouvé en 1992 que r=0 en dimension au moins 5.
La valeur de r (et son existence) n'est que conjoncturale en dimension 2,3,4.
Le fait que le modèle soit en quelque sorte plus facile en grande dimension
peut sembler curieux aux amateurs d'énumération exacte.
C'est pourtant un phénomène très fréquent en physique statistique (modèle
d'Ising, percolation...)
L'objet de cette série d'exposés, centrés sur les chemins auto-évitants, est
de décrire un peu les préoccupations de certains énumérateurs qui,
s'attaquant à des classes d'objets peu structurées (et donc très dures à
énumérer), développent des techniques assez différentes des "nôtres".