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$\textstyle \parbox{10cm}{\bf Licence Informatique \\
Université Bordeaux I}$ Méthodes statistiques pour l'informatique 3 novembre 2004


TD n$^{\circ}$ 4: Probabilités conditionelles


Exercice 1
On a 3 cartes coloriées sur chaque face: rouge-rouge (RR), blanc-blanc (BB) et rouge-blanc (RB). Une personne tire une carte au hasard et vous en montre une face tirée au hasard aussi. Si la face montrée est R, que pariez vous pour la couleur de la face cachée?


Exercice 2
Soient $X$ une v.a. géométrique de paramètre $p$ et $Y$ une v.a de Poisson de paramètres $\lambda$. On suppose que $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Calculer, quand elle existe , l'espérance de $Z=X^Y$.


Exercice 3
Soient $n,m \geq 0$, avec $m \geq n$. On note $C(m,n)$ l'ensemble des mots $u$ de $\{A,B\}^*$ tels que $\vert u\vert _A=m$ et $\vert u\vert _B=n$, ie $u$ est constitué de $m$ lettres $A$ et de $n$ lettres $B$.

Soit $p:\{A,B\}^* \rightarrow \mathbb{Z}$ l'application définie par $p(u)=\vert u\vert _A-\vert u\vert _B$

On propose de calculer la probabilité de l'événement

$D=\{ u \in C(m,n)\vert\; \forall v\neq \varepsilon$ préfixe de $u,\, p(v)>0 \}.$

Application: Lors d'une élection, deux candidat A et B ont obtenu respectivement $m$ et $n$ voix. C'est le candidat A qui gagne l'élection: $m>n$. Quelle est la probabilité pour que A garde constamment la majorité lors du dépouillement?


Exercice 4
Soient $m$ et $n$ deux entiers. Posons $\Omega_1={1,\ldots , m}$, $\Omega_2={1,\ldots , n}$ et $\Omega=\Omega_1 \times \Omega_2$. On muni $\Omega$ de la loi uniforme et on définit les v.a. $X_1$ et $X_2$ par $X_1(\omega_1,\omega_2)=\omega_1$ et $X_2(\omega_1,\omega_2)=\omega_2$, pour tout $(\omega_1,\omega_2) \in \Omega$.

Montrer que $X_1$ et $X_2$ sont indépendantes.


Exercice 5
Soit la probabilité définie sur $\mathbb{N}^2$ par

\begin{displaymath}P(m,n)=\frac{C}{(m+n+1)!}\end{displaymath}


Exercice 6
Deux bus passent au même arrêt toutes les trentes minutes: Le second passe toujours 20 minutes après le premier.

Un usager arrive à l'arrêt à l'instant $t$. Combien de temps en moyenne va t'il attendre l'arrivée du prochain bus.

Les exercices qui suivent ne seront pas forcément traités en TD.


Exercice 7
Soit $T$ une v.a. à valeur dans $\mathbb{N}$ de loi $P(T=n)=p(n)$.

On pose $p_t(n)=P(T-t=n\vert T\geq t)$, $n \in \mathbb{N}$.

On suppose que

\begin{displaymath}\forall t,  n \in \mathbb{N},\; p_t(n)=p(n)\end{displaymath}

.

On veut montrer qu'alors il existe $q \in [0,1]$ tel que $P(T=n)=q^n(1-q)$.

Soit $\pi(n)=P(T\geq n),  n\geq 0$.

  1. Montrer que

    $\forall m,  n \in \mathbb{N},\; \pi(n+m)=\pi(n)\pi(m)$.

    On pourra remarquer que $p_t(n)P(T\geq t)=P(T=n+t)$ pour $t,n \geq 0$.

  2. En déduire une expression de $\pi(n)$ en fonction de $\pi(1)=q$.
  3. Trouver une relation liant $\forall t\geq 0$, $p(t)$ avec $\pi(t)$ et $\pi(t+1)$, puis calculer $p(t)$, $\forall t\geq 0$.




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Maylis Delest 2004-11-03