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$\textstyle \parbox{10cm}{\bf Licence Informatique \\
Université Bordeaux I}$ Méthodes statistiques pour l'informatique 10 novembre 2004


TD n$^{\circ}$ 5: Tribus - Probabilités continues


Exercice 1
Soit $\mathfrak{F}$ une tribu sur $\Omega$. Montrer que

  1. $\emptyset \in \mathfrak{F}$
  2. si $\mathfrak{I}$ est un ensemble au plus dénombrable et si $\{A_i:\, i\in \mathfrak{I}\} \subseteq \mathfrak{F}$ est une collection de membres de $\mathfrak{F}$, alors $\displaystyle \bigcap_{i \in \mathfrak{I}}A_i \in \mathfrak{F}$


Exercice 2
Si $\mathfrak{F}_i$ une tribu sur $\Omega$ pour tout $i \in I$, où $I$ est un ensemble quelconque.

Montrer que $\displaystyle
\mathfrak{G}=\bigcap_{i \in I} \mathfrak{F}_i$ est une tribu.


Exercice 3
Soit $\Omega=\{1,\ldots,6\}$ l'espace des issues d'un lancé de dé. Quelle est la tribu engendrée par $\mathcal{C}=\{\{1,2,3\},\{4,5\}\}$ ?


Exercice 4
Soit $\mathcal{C}=\{A_i:\, i \in \mathcal{I}\} $ une classe de parties de $\Omega$ au plus dénombrable et telle que ses éléments forment une partition de $\Omega$, c'est à dire

$\Omega =\displaystyle \bigcup_{i \in \mathcal{I}}A_i \mbox{ et }
A_i\cap A_j=\emptyset,\, i\neq j.$

Décrire la tribu $\sigma(\mathcal{C})$ engendrée par $\mathcal{C}$.


Exercice 5
Soit $\mathcal{B}_k$ la tribu des boréliens de $\mathbb{R}^{k}$. On rappelle que $\mathcal{B}_k$ est la tribu engendrée par la classe des pavés de $\mathbb{R}^k$.

Montrer dans chacun des cas suivants que la classe $\mathcal{C}$ engendre également la tribu $\mathcal{B}_k$

  1. si $k=1$ et $\mathcal{C}$ est la classe des intervalles fermés de $\mathbb{R}$:

    $\mathcal{C}=\{[a,b]:\; a,b \in \mathbb{R},\, a<b \} $

  2. si $k=1$ et $\mathcal{C}=\{ ]-\infty,x):\; x \in \mathbb{R}\}$

  3. si $k\geq 2$ et $\mathcal{C}=\{[a_1,b_1]\times \ldots \times
[a_k,b_k]:\; ai_,b_i \in \mathbb{Q},\, a_i<b_i,\, i=1,\ldots , k \}$
  4. si $k\geq 2$ et $\mathcal{C}=\{]-\infty ,b_1]\times \ldots \times
]-\infty , b_k]:\; b_i \in \mathbb{R},\, i=1,\ldots , k \}$


Exercice 6
Soit $(\Omega,\mathfrak{F},P)$ un espace de probabilité et $B \in
\mathfrak{F}$ tel que $P(B)>0$.
On définit $Q$ sur $\mathfrak{F}$ par $Q(A)=P(A\vert B)$.

Montrer que $Q$ est une probabilité.


Exercice 7
La densité $f$ de la variable aléatoire $X$ est donnée par:


\begin{displaymath}\left \{
\begin{array}{c}
ax \mbox{ si }0\leq x <1 \\
a \...
...mbox{ si } 3\leq x <4 \\
0 \mbox{ sinon}
\end{array}\right . \end{displaymath}

  1. Repésenter graphiquement f et calculer la constante $a$.
  2. Calculer $P(\vert X-1,5\vert\leq 1)$ et $P(X \geq 3)$.


Exercice 8
La densité $f$ de la variable aléatoire $X$ est donnée par

\begin{displaymath}f(x)=\frac{a}{x^2+1}.\end{displaymath}

  1. Calculer $a$.
  2. Calculer $P(X \geq 1)$
  3. Quelle est la densité de la variable aléatoire $Y=\vert X\vert$? (On pourra introduire la fonction de repartition de $Y$).


Exercice 9
Soit $(p_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite de fonctions définies par:

\begin{eqnarray*}
p_n(x) &=& 0 \mbox{ si } \vert x\vert >n+ \frac{1}{n} \\
p_...
... \frac{1}{n} \\
p_n(x) &=& \frac{n}{2}-\sqrt{n} \mbox{ sinon.}
\end{eqnarray*}



  1. Vérifier que les $p_n$ sont des densités de probabilité.
  2. Soit $X_n$ une variable aléatoire réelle associée à la densité $p_n$.

    Montrer que la suite de v.a. $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge en probabilité vers 0.




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Maylis Delest 2004-11-10