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$\textstyle \parbox{10cm}{\bf Licence Informatique \\
Université Bordeaux I}$ Méthodes statistiques pour l'informatique 29 novembre 2004


TD n$^{\circ}$ 7: Loi normale, convergences


Exercice 1
Lors de la fabrication en série de billes, on admet que le diamètre est reparti suivant une loi normale. A l'aide de deux cribles, l'un avec des trous de 10 mm et l'autre avec des trous de 10.3 mm, on peut evaluer les probabilités suivantes:

$P(X\geq 10)=0.1736$ et $P(X\geq 13)=0.1446$.

Déterminer les paramètres $\lambda$ et $\sigma$ de la loi de distribution de $X$.


Exercice 2
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi normale de parametres $m$ et $\sigma$. On pose $Y=e^X$, calculer l'espérance et la variance de Y


Exercice 3
Un pays compte 1004000 élécteurs. Le vote est obligatoire. 4000 électeurs votent ``OUI'' par conviction, les autres votent au hasard entre ``OUI'' et ``NON''. Quelle est la probabilité que le `` OUI'' l'emporte?


Exercice 4
On suppose que les erreurs liées à une expérience suivent la loi normale de moyenne nulle et d'écart-type $\sigma$.

  1. Déterminer $\sigma$ sachant que l'erreur (en valeur absolue) est supérieure à 0,1 dans 10% des cas ?

  2. Dans ce cas, quelle est la probabilité pour que l'erreur soit supérieure à 0,2 ?

  3. Toujours dans le même cas, déterminer $a$ en sorte que la probabilité pour que l'erreur soit supérieure à $a$ soit de 5%.


Exercice 5
Une usine fabrique des objets dont on sait que 4% présentent des défauts. Calculer la probabilité$ P_{k}$ qu'un lot de 35 objets (choisis au hasard) comprenne $k$ objets défectueux, pour $k=1, 2, 3$.
Refaire les calculs en remplaçant la loi exacte par son approximation de Poisson.


Exercice 6
On suppose que la température moyenne du mois de janvier à Bordeaux est une variable aléatoire normale, d'espérance 3,7$^{\circ}C$ et d'écart-type 1,8$^{\circ}C$. On suppose que les températures moyennes (du mois de janvier à Bordeaux) des différentes années sont des variables aléatoires indépendantes.

  1. Quelle est la loi de la moyenne des températures moyennes sur 5 années consécutives ?
    Quelle est la probabilité que cette moyenne sur 5 ans dépasse 5$^{\circ}C$.
  2. Quelle est la probabilité que, 5 années consécutives, la température moyenne de janvier dépasse 5$^{\circ}C$ ?


Exercice 7
On suppose qu'avec une certaine balance de laboratoire, l'erreur (en $g$) sur la pesée d'un corps est une variale aléatoire suivant la loi normale de paramètres $0$ et $ 0,08 $. Soit $X$ la variable aléatoire égale au résultat de la pesée d'un corps de masse exacte $72,37 g$

  1. Quelle est la probabilité $P(72,3 < X < 72,5)$ ?
  2. Déterminer un intervalle $I$ centré sur 72,37 tel que $P(X\in I) = 0,98$.


Exercice 8
On effectue 30 observations d'une variable aléatoire $X$ supposée normale. Parmi les valeurs observées, 5 sont inférieures à 240, 15 sont comprises entre 240 et 250, 10 sont supérieures à 250.

Proposer des valeurs pour l'espérance $\mu$ et l'écart-type $\sigma$ de $X$.


Exercice 9
Un restaurant peut servir 75 repas.
La pratique montre que 20 % des clients ayant réservé ne viennent pas.

  1. Le restaurateur accepte 90 réservations.
    Quelle est la probabilité qu'il se présente plus de 50 clients.
  2. Combien le restaurateur doit-il accepter de réservations pour avoir une probabilité supérieure ou égale à 0,9 de pouvoir servir tous les clients qui se présenteront ?


Exercice 10
On suppose que la durée de vie d'une ampoule électrique est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,2 * 10^{-3}h^{-1}$.
Si l'on remplace une ampoule par une ampoule semblable dès qu'elle ne fonctionne plus, qu'elle est la probabilité qu'au bout de $50$ $000$ heures l'ampoule en fonctionnement soit au moins la dixième ?




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Maylis Delest 2004-11-29