Modèles de systèmes qui évoluent dans le temps selon des transitions probabilistes
Exemple: jouer au Pile ou Face
D'abord j'ai 3 euros et mon opposant a aussi 3 euros
A chaque tour j'ai une probabilité p de gagner un euro et une probabilité
1-p de perdre un euro mais un joueur sans argent
ne peut plus miser
L'``état'' du système est combien d'argent j'ai (0,1,2,3,4,5
ou 6)
Les transitions possibles sont:
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Un ensemble E d'états possibles
Transitions à des moments de temps discrets
Probabilité de transition de l'état i à l'état j (à moment t) ne dépend pas de l'histoire (c-à-d des états antérieurs)
Ici on ne considère que les chaînes finies (nombre d'états fini) et homogènes (probabilité de transition d'état i à l'état j ne dépend pas de t).
On veut savoir, par exemple, le pourcentage des demandes qui échouent (faute d'assez de camions dans la ville de la demande).
On suppose bi la probabilité chaque jour d'une demande totale qui nécessite exactement i camions de Bordeaux à Paris et ai la même probabilité dans la direction inverse.
Et on suppose que les demandes dans les 2 villes sont indépendantes.
Il y a 5 états selon le nombre de camions sur Bordeaux (la nuit).
La probabilité d'une transition de l'état i à l'état j:
i=j=0: a0
i=0, j=1: a1
i=1, j=0: a0(b1+b2+b3+b4)
i=1, j=1: a0b0 + a1(b1+b2+b3+b4)
etc.
On note Pi,j la probabilité d'une transition de l'état i à l'état j à un moment et P la matrice de ces probabilités.
Une matrice vérifiant les deux propriétés évidentes: Pi,j ³ 0 pour tout i,j et åj Pi,j = 1 est une
On note P(m)i,j la probabilité d'une transition de l'état i à l'état j dans m transitions et P(m) la matrice de ces probabilités.
Dans le jeu de Pile ou Face 0 et 6 sont des états persistants;
les autres sont transitoires.
Dans le système des camions ça dépend des probabilités:
si a0=b0=0 et les autres probabilités sont
non-nulles, 0 et 4 sont des états transitoires et tous les autres
sont persistants..
On parle aussi des états ergodiques, c'est-à-dire ceux pour lesquels le temps moyen du premier retour à l'état i après être arrivé une fois en i est fini. Pour les chaînes finies il n'y a pas de différence entre persistant et ergodique.
Un état i est périodique avec période l si chaque cycle de i à i comporte un nombre de transitions qui est un multiple de l (et l est l'entier maximum (supérieur à 1) avec cette propriété), c'est-à-dire le plus grand diviseur commun des longueurs de tous les cycles qui contiennent i.
Les chemins dans ce graphe correspondent aux transitions possibles en plusieurs étapes (ou 1 ou 0).
Important: les composants fortement connexes
(ensemble maximal de sommets tel qu'il existe un chemin de chacun à
chaque autre)
Le système entrera (avec probabilité 1) dans un composant
sans sortie et ensuite devra y rester; Les états d'un tel composant
constituent une petite chaîne où tous les états sont persistants
(donc ergodiques)
S'il y a un seul composant fortement connexe la chaîne est irréductible
Tous les états d'un composant sont du même type: tous persistants
(une classe finale d'états) ou tous transitoires (une classe
de passage);
Un autre graphe (sommets les composants du premier; arcs correspondant
aux transitions entre composants) suffit pour montrer dans quels composants
le système peut finir étant donné un état initial
Si l'un des états d'un composant est périodique avec période
l, c'est vrai pour tous.
En ce cas, on peut diviser les états en l
classes:
C0,C1,¼Cl-1, de telle façon
que chaque transition est d'une classe Ci à Ci+1
(ou de Cl-1
à C0); les chemins de longueur l
donnent une chaîne à l'intérieur de chaque Ci
où tous les états sont persistants et apériodiques.
L'étude du comportement du système a été réduite
à deux questions: l'étude des systèmes ergodiques et
apériodiques; et la question de dans quelle sous-chaîne on peut
finir et avec quelle probabilité.