Les chemins dans ce graphe correspondent aux transitions possibles en plusieurs étapes (ou 1 ou 0).
Important: les composants fortement connexes du graphe appelés
classes de la ch^ine
(ensemble maximal de sommets tel qu'il existe un chemin de chacun à
chaque autre)
Le système entrera (avec probabilité 1) dans un composant
sans sortie et ensuite devra y rester; Les états d'un tel composant
constituent une petite chaîne où tous les états sont
persistants (donc ergodiques)
S'il y a un seul composant fortement connexe la chaîne est irréductible
Tous les états d'un composant sont du même type: tous persistants
(une classe finale d'états) ou tous transitoires (une classe
de passage);
Un autre graphe (sommets les composants du premier; arcs correspondant
aux transitions entre composants) suffit pour montrer dans quels composants
le système peut finir étant donné un état initial
Si l'un des états d'un composant est périodique avec période
l, c'est vrai pour tous.
En ce cas, on peut diviser les états de la classe en l sous-classes:
C0,C1,¼Cl-1, de telle façon
que chaque transition est d'une sous-classe Ci à Ci+1
(ou de Cl-1
à C0); les chemins de longueur l
donnent une chaîne à l'intérieur de chaque Ci
où tous les états sont persistants et apériodiques.
L'étude du comportement du système a été réduite
à deux questions: l'étude des systèmes ergodiques et
apériodiques; et la question de dans quelle sous-chaîne on
peut finir et avec quelle probabilité.
La probabilité d'une transition de l'état i à l'état
j dans 2 transitions est la somme pour tout k de la probabilité d'une
transition de i à k dans la première transition suivie d'une
transition de k à j dans la deuxième:
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La probabilité d'une transition de l'état i à l'état j dans m transitions est la somme pour tout k de la probabilité d'une transition de i à k dans les premières m-1 transitions suivie d'une transition de k à j dans la dernière:
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Calcul qui peut être fait de façon efficace par calcul des carrés
Pour n'importe quelle configuration initiale (un seul état ou une distribution aléatoire entre plusieurs), les probabilités du système doivent converger sur la même distribution limite
Si la configuration initiale est déjà la distribution limite, elle ne va jamais changer
C'est-à-dire que si pj est la limite de Pi,j(m), åi pi Pi,j = pj.
n équations linéaires en n variables.
(une pour chaque colonne de P)
Non! Le vecteur (0,0,0,¼,0) est aussi une solution!
(en effet la dernière équation est une combinaison linéaire des autres parce que la matrice est stochastique)
Il faut ajouter une nouvelle équation (indépendante) afin de réduire le nombre de solutions à 1:
p1+p2+¼pn = 1.
Il suffit de calculer la probabilité de tomber dans chaque classe
finale
La probabilité asymptotique d'être dans l'état i est
0 si i est un état transitoire et, sinon, la probabilité de
tomber dans la classe finale contenant i multipliée par la probabilité
d'être dans l'état i dans la distribution limite de la chaîne
irréductible de cette classe.
Choisir une classe finale C et pour chaque état i, définir pi la probabilité de tomber enfin dans C.
Si i est dans C, pi=1; si i est dans une autre classe finale
pi=0; sinon
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Il n'y a plus de distribution limite.
Pour tout i < l il y a une distribution
limite valable pour les temps º i mod
l.
On divise les états persistants en les l sous-classes et on calcule une distribution limite sur chaque sous-classe en utilisant la matrice de transitions en l étapes, Pl.
Pour savoir la probabilité que, à temps t (t grand) on est dans un état donné, il faut d'abord calculer la probabilité d'être tombé dans chaque sous-classe, probabilité qui dépend de t mod l.
Trivial dans le cas où tous les états sont persistants;
sinon le cas i=0 est résolu par le calcul des probabilités
de tomber dans chacune des classes finales appliqué à Pl;
et on en déduit les valeurs pour les autres i.