l'algorithme du simplexe
(ou de trouver qu'il n'y a pas de solution)
Beaucoup utilisé et réussit sur les problèmes ``réels''
Théoriquement trop lent pour des problèmes très bizarres
Basé sur deux idées importantes:
L'idée de base (géométrique)
Pourquoi ça marche?
Le nombre de sommets est fini: donc terminaison garantie
Pas de maximaux locaux qui ne sont pas de maximaux globaux: donc l'algorithme ne peut se terminer qu'à une solution optimale (s'il y en a)
Comment est-ce que ça s'arrête?
Aucun sommet voisin avec une valeur supérieure de z
On a trouvé la valeur optimale (si elle existe)
C'est quoi, un sommet voisin?
Un très petit exemple de parcours itératif calculé de façon naïve
La solution de base x1=x2=0
est réalisable avec z=0. Les solutions
voisines sont obtenues en supprimant une des équations x1=0 ou x2=0
et en ajoutant une des équations
3x1+2x2 = 30
ou -2x1+x2 = 8
Donc quatre possibilités:
On continue de la solution:
x1=0, -2x1+x2 = 8, z=16.
Supprimer une des équations:
x1=0, -2x1+x2 = 8
Ajouter une équation choisie parmi
x2=0, 3x1+2x = 30
En fait on ne trouve qu'une nouvelle solution:
3x1+2x2 = 30, -2x1+x2 = 8:
x1=2, x2=12 réalisable
avec z=18, donc une amélioration.
Et ainsi de suite (mais pour ce petit exemple il n'y a plus de possibilités d'amélioration).
Impressionnant?
On a fait 3 itérations et pour chaque itération on calcule
4 voisins; donc 12 sommets calculés
sur les 6 qui existent!
Mais pour un exemple de taille raisonnable c'est mieux:
10 variables et 10 contraintes explicites: 184756 sommets
Si l'algorithme prend 40 itérations (un peu pessimiste), on n'en
calcule que 40 ×10 ×10 = 4000.
(Et on va voir que le vrai algorithme fait encore moins de calcul)
Plus la taille du problème est élevée, plus cette méthode gagne par rapport à la méthode très naïve de calculer toutes les solutions de base.
Le ``vrai'' algorithme du simplexe de Dantzig
On considère d'abord le cas où (0,0,¼,0) est une solution de base réalisable et l'algorithme part de là:
On va supprimer une seule des équations xi=0; donc cette variable xi va devenir positive et les autres resteront nulles. Donc, il faut choisir une variable à coefficient positif en z.
En choisir une (peut-être mais pas forcément celle au coefficient le plus élevé?)
Chaque contrainte avec un coefficient ai,j > 0 donne une borne supérieure sur la nouvelle valeur de xi;
Choisir la plus petite de ces bornes; c'est la contrainte qu'il faut rajouter.
Comment continuer?
Transformer le problème en ``forme standard''.
C'est la forme où les seules contraintes sont que chaque variable est positive ou nulle et des contraintes dans la forme d'équations. La transformation s'effectue en ajoutant une nouvelle variable ``variable d'écart'' pour chaque contrainte d'inéquation:
Par exemple 3x1+2x2 £ 30 devient 3x1+2x2+x3 = 30 où x3 est la variable d'écart, contrainte d'être positive ou nulle.
Le même exemple
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coefficient positif en z variable entre
dans la base
le ``pivot''
variable qui sort de la base
En pratique on garde les coefficients dans un tableau et supprime les
colonnes connues ne contenir qu'un élément non nul etc. mais
ce ne sont que des détails de programmation.