Résumé | La tomographie est un protocole d'imagerie permettant de reconstruire un
objet en dimension N à partir d'une série de projections de dimensions
N-1 mesurées depuis l'extérieur de l'objet. Elle est principalement
utilisée en imagerie médicale (scanner CT), mais des applications se
développent de plus en plus dans des domaines aussi variés que la
microscopie électronique, l'optique, la géophysique ou l'astrophysique.
Les méthodes de reconstructions tomographiques s'appuient sur le
théorème de Radon (1919) ou son équivalent dans l'espace de Fourier. Ces
théorèmes sont exacts en continu, mais leur discrétisation entraîne des
approximations sur les images. Le fer de lance de la recherche en
tomographie des dernières décennie a donc été le développement de
méthodes permettant d'améliorer la qualité des reconstructions. On peut
principalement les classer en deux grandes familles. D'une part, les
méthodes directes s'appuient sur une inversion optimisée des théorèmes.
D'autre part, les méthodes itératives modélisent le problème sous la
forme d'un système linéaire y = Rx + b (y : le vecteur projections, x :
l'image à reconstuire et b : le bruit) à résoudre (méthodes algébriques,
stochastiques, programmation linéaire, ...).
Dans un premier temps, je présenterai ces différentes familles pour
arriver jusqu'à une classification qualitative (qu'appelle-t-on une
bonne qualité de reconstruction?) et quantitative (complexité, temps de
calculs, implémentations) des méthodes.
Cette comparaison nous amènera à constater l'efficacité des méthodes
dans des cas d'utilisations "standard". Nous verrons toutefois leurs
limites face à un problème encore ouvert de la tomographie : la
reconstruction à partir de données incomplètes. Lorsqu'un angle de
projections successives n'est pas disponible, l'image reconstruite subit
des déformations (missing wedge effect).
En imposant une géométrie aux projections en fonction de la géométrie de
l'image (taille, forme des pixels), je montrerai qu'il existe une
transformée discrète exacte de Radon, appelée transformée Mojette, dont
l'inversion est insensible à l'effet du missing wedge. Toutefois, cette
reconstruction n'est pas adaptée a une acquisition classique et elle est
extrêmement sensible au bruit.
Je mettrai donc d'abord en place un système de mappage continu-discret
entre une acquisition modélisé par la transformée de Radon et une
reconstruction par Mojette. Je détaillerai ensuite une optimisation de
l'inversion moins sensible au bruit. Des premiers résultats, je déduirai
comment cette méthode pourrait être une amorce de solution au problème
du missing wedge. |