Résumé | Lors de sa venue au Labri à l'automne 2010, François Bergeron a présenté -- entre autres -- deux conjectures sur l'énumération des intervalles de certains treillis, dits de m-Tamari. Une conjecture pour des intervalles non-étiquetés, avec des nombres qui ressemblent à des nombres de cartes et ont une série génératrice algébrique. Une conjecture pour des intervalles étiquetés, avec des nombres qui ressemblent plutôt à des nombres d'arbres de Cayley, voire de cartes de Cayley, si ce n'est que la notion reste à inventer.
La première formule a été prouvée avec Éric Fusy et Louis-François Préville-Ratelle, et présentée au GT l'an dernier. La seconde a été prouvée, et très largement raffinée, avec ce même Louis-François et Guillaume Chapuy. La preuve manipule des séries génératrices, et les bijections restent à inventer.
Ces questions sont -- conjecturalement -- reliées aux polynômes coinvariants diagonaux en trois jeux de variables. |