Résumé | La "petite école de combinatoire" a une longue tradition au LaBRI. La prochaine version,
débutant en Octobre, a comme sujet la théorie combinatoire des polynômes orthogonaux, ses
extensions, ainsi que ses interactions et applications. Il m'a semblé utile de la
présenter à un public élargi, le thème débordant largement les préoccupations de l'équipe
combinatoire.
La théorie classique des polynômes orthogonaux était considérée comme une branche de
l'analyse. Polynômes de Tchebychef ou polynômes d'Hermite sont peut être pour vous de
vieux souvenirs ? Depuis environ 25 ans, cette théorie a été "combinatorisée" et tout un
monde nouveau s'est ouvert, en relation avec l'informatique, les probabilités et la
physique. Des objets combinatoires très classiques comme les permutations ou les chemins
de Dyck (visualisant les mots bien parenthésés) sont à la base de cette théorie
combinatoire et permettent d'interpréter aussi bien les coefficients de classes
particulières de polynômes orthogonaux, que ce que l'on appelle leur moments, définissant
cette notion d'orthogonalité. Cette théorie est équivalente à celle des développements en
fractions continues.
Les interactions et les applications sont nombreuses: par exemple en informatique avec le
calcul du coût moyen d'une structure de donnée intégré sur une séquence aléatoire
d'opérations primitives (théorie de Flajolet, Françon et Vuillemin), en théorie des
probabilités avec les processus de vie et de mort de Karlin et McGregor, ou encore en
physique statistique avec les modèles de particules "sauteuses" asymétriques avec
exclusion mutuelle. Des extensions de la théorie vont vers la théorie des approximants de
Padé (approximer une série ou une fonction par une série rationnelle) ou encore la
théorie du contrôle et l'automatique non linéaire. |