Evènement pour le groupe Séminaire du LaBRI


Date 2007-01-18  14:00-15:00
TitrePrésentation du projet ANR MARS 
RésuméLe titre officiel du projet est "Physique combinatoire: autour des Matrices à Signes Alternants et la conjecture de Razumov-Stroganov". D'où l'acronyme MARS. C'est un projet interdisciplinaire recouvrant trois domaines principaux: informatique, combinatoire et physique. Le but principal est de résoudre la célèbre (en combinatoire et en physique) conjecture de Razumov et Stroganov (RS) relative à certains entiers apparaissant dans un modèle de physique sur des chaînes de spins quantiques (modèle XXZ d'Heisenberg). Ces entiers apparaissent dans un tout autre domaine: les objets combinatoires appelés matrices à signes alternant (MSA), introduits il y a 25 ans, et qui ont fait couler beaucoup d'encre en combinatoire. Une matrice à signe alternant est une matrice carrée, dont les entrées sont 0,1 ou -1, telle que la somme des entrées dans chaque ligne et chaque colonne est égale à 1, et telle que les signes alternent dans les lignes et les colonnes. Les premiers nombres de la suite dénombrant ces matrices selon leur taille sont; 1, 2, 7, 42, 429, ... Depuis le début de ce millénaire, de gros efforts ont été déployés par de nombreux physiciens pour comprendre pourquoi ces entiers apparaissent dans le contexte des chaînes de spins quantiques. D'une autre manière tout à fait surprenante, ces mêmes entiers apparaissent dans un autre domaine combinatoire: les partitions planes. Imaginez une pièce cubique de 2n = 10 mètres sur chacun de ses cotés et empiler des cubes de 1 mètre de coté dans un coin de la pièce, bien serrés, et sans que la montagne formée de ces cubes n'ait de pics. Imaginez toutes les symétries que vous pouvez faire avec ce genre d'objets (maintenant il faut que les cubes soient bien collés!). Les empilements de votre pièce ayant toutes les symétries imaginables (PPTSAC) sont au nombre de 429, le nombre de MSA ayant n = 5 lignes et 5 colonnes !. Bien entendu, cette coïncidence miraculeuse est vraie pour toute taille n. Depuis 20 ans, malgré de nombreux efforts des combinatoristes, pas la moindre correspondance (bijection) entre les MSA et les PPTSAC n'a été trouvée. J'esquisserai dans ce séminaire les différentes facettes déjà connues du sujet et touchant des thèmes fort variés. Les probabilités: chaînes de Markov, structures discrètes aléatoires; la combinatoire algébrique: fonctions symétriques, permutoèdre (groupe de permutation) et associaèdre (les arbres binaires). Enfin, des pistes possibles très "labrisiennes": réécritures, algorithmique sur une grille, algorithmique des structures de données, avec une utilisation expérimentale de la visualisation sur ordinateur de structures combinatoires complexes. 
LieuAmphi 050 
OrateurXavier Viennot 
UrlLaBRI 



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