Titre du Sujet : Etude des grandes cartes aléatoires.

 

Encadrant : Jean-François Marckert

 

Equipe : LaBRI - Combinatoire et algorithmique / Combinatoire énumérative et algébrique

 

Description détaillée :

 

Une carte planaire est le plongement d'un graphe planaire

dans le plan considéré à déformation près. D'un point de

vue combinatoire, l'étude des cartes planaires a débuté

dans les années 60;  Tutte en cherchant une preuve du théorème

des quatre couleurs, a calculé le cardinal de nombreuses

familles de cartes, comme les quadrangulations et triangulations.

Ces dernières années, l'étude des cartes  a connu un

nouvel essor dû essentiellement à de nouvelles bijections

avec des familles d'arbres (ces bijections ont été initiées

au LaBRI par Cori, Vauquelin et surtout Schaeffer, puis par

des physiciens Bouttier, Di Francesco et Guitter). Ces bijections

ont permis de ``dévisser'' les cartes, rendant accessible

certains paramêtres, comme leur rayon (Chassaing & Schaeffer)

et également, la construction d'une notion de carte continue,

limite naturelle des quadrangulations normalisées (Marckert &

Mokkadem).

 

En physique théorique, les cartes sont utilisées en

``géométrie quantique''; le but est de discrétiser certaines

métriques aléatoires (continues) sur des surfaces, en

utilisant les cartes et leur métrique associée (celle du

graphe sous jacent).

 

Les questions que l'on se pose concernent les propriétés

des cartes aléatoires, de taille tendant vers l'infini. Les

physiciens conjecturent que de nombreux phénomènes

asymptotique sont universels, et ne dépendent pas de

la famille de cartes considérées.

 

L'idée directrice du sujet proposé est de mieux comprendre

la métrique limite des cartes planaires normalisées (c'est

en fait la principale question des physiciens).

Pour cela, je propose d'étudier dans un premier temps

des modèles simples de cartes, dans lesquelles, les arêtes

sont peu nombreuses et bien  disposées: il s'agit des cartes

planaires extérieures, étudiées par

d'autres membres du laboratoire (N. Bonichon, N. Hanusse,

C. Gavoille). Dans un deuxième temps, il s'agira

d'établir des propriétés combinatoires permettant de calculer

les lois jointes des distances relatives de plusieurs points

dans la carte.