Titre du Sujet : Etude des grandes cartes aléatoires.
Encadrant : Jean-François Marckert
Equipe : LaBRI - Combinatoire et algorithmique / Combinatoire énumérative et algébrique
Description détaillée :
Une carte planaire est le plongement d'un graphe planaire
dans le plan considéré à déformation près. D'un point de
vue combinatoire, l'étude des cartes planaires a débuté
dans les années 60; Tutte en cherchant une preuve du théorème
des quatre couleurs, a calculé le cardinal de nombreuses
familles de cartes, comme les quadrangulations et triangulations.
Ces dernières années, l'étude des cartes a connu un
nouvel essor dû essentiellement à de nouvelles bijections
avec des familles d'arbres (ces bijections ont été initiées
au LaBRI par Cori, Vauquelin et surtout Schaeffer, puis par
des physiciens Bouttier, Di Francesco et Guitter). Ces bijections
ont permis de ``dévisser'' les cartes, rendant accessible
certains paramêtres, comme leur rayon (Chassaing & Schaeffer)
et également, la construction d'une notion de carte continue,
limite naturelle des quadrangulations normalisées (Marckert &
Mokkadem).
En physique théorique, les cartes sont utilisées en
``géométrie quantique''; le but est de discrétiser certaines
métriques aléatoires (continues) sur des surfaces, en
utilisant les cartes et leur métrique associée (celle du
graphe sous jacent).
Les questions que l'on se pose concernent les propriétés
des cartes aléatoires, de taille tendant vers l'infini. Les
physiciens conjecturent que de nombreux phénomènes
asymptotique sont universels, et ne dépendent pas de
la famille de cartes considérées.
L'idée directrice du sujet proposé est de mieux comprendre
la métrique limite des cartes planaires normalisées (c'est
en fait la principale question des physiciens).
Pour cela, je propose d'étudier dans un premier temps
des modèles simples de cartes, dans lesquelles, les arêtes
sont peu nombreuses et bien disposées: il s'agit des cartes
planaires extérieures, étudiées par
d'autres membres du laboratoire (N. Bonichon, N. Hanusse,
C. Gavoille). Dans un deuxième temps, il s'agira
d'établir des propriétés combinatoires permettant de calculer
les lois jointes des distances relatives de plusieurs points
dans la carte.