- Asma Bentalha (Université Paul Sabatier - Toulouse).
Invariant de Casson du revêtement double ramifié
le long d'une tresse à 3 brins.
Soit le revêtement double ramifié M de la sphère S3,
ramifié le long d'un entrelacs L.
La formule de Mullins permet de relier
l'invariant de Casson λM de M
avec le polynôme de Jones
VL
de L et sa signature σL.
Dans l'exposé, on donne des formules pour
VL(-1) et V'L(-1)
qui
permettent de démontrer l'inégalité
λM ≥ σL
lorsque L est la fermeture d'une tresse à trois brins
de longueur algébrique positive.
- Christian Blanchet (LMAM, Université de Bretagne Sud - Vannes).
Spineurs en théorie des noeuds.
L'exposé portera sur un travail en cours avec Anna Beliakova
sur les invariants quantiques obtenus en coloriant avec
la (les) représentation(s) spinorielle(s) des algèbres de Lie
$so(m)$. Nous nous limiterons au cas $so(2n+1)$.
Nous ferons d'abord le point sur les différentes
approches des invariants obtenus en coloriant avec la représentation
tautologique: point de vue polynôme de Kauffman,
point de vue groupe quantique, point de vue
intégrale de Konsevich et système de poids.
-
Roger Fenn (University of Sussex).
Set theoretic solutions to the Yang Baxter equations.
In 1990 Drinfeld asked for set theoretic solutions to the Yang-Baxter
equations and this is what is set out in this talk. The solutions are
algebraic objects called biracks and biquandles. It turns out that the
correct
universe for their application is the world of virtual knots and links and
they are the analogs of racks and quandles in the world of real knots and
links.
- Thomas Fiedler (Université Paul Sabatier - Toulouse).
One-cocycles of degree 2 and 3
in spaces of closed braids.
We construct a non-trivial one-cocycle of degree 2 for
closed 3-braids. We use it to prove the following :
as well known the 3-braid σ1 σ2-1 is conjugate to its
mirror image. We find a loop S in the corresponding space of the
closed braid which is not homologous to its mirror image. This means
that there is no simultaneous conjugation of the 3-braids in the loop
S. We define also non-trivial one-cocycles of degre 3 in arbitrary
spaces of closed braids .
- David Garber (Institut Fourier - Grenoble).
Invariants of configurations of skew lines and spindle configurations.
The classification problem (up to isotopy) of configurations of skew
lines is the motivation for the current research.
We associate to a configuration of skew line a symmetric matrix
which holds its crossing data. Using this matrix, we succeeded in:
- Proving a conjecture of Crapo-Penne about the connection between
spindle configurations (a special type of configurations where all the
lines intersect one extra line) and the classes induced on the set of
permutations by some interesting relations.
- Introducing some more invariants for configurations of skew
lines with reduced computational complexity.
- Giving some lower bounds for the number of non-isotopic
configurations of at least 8 skew lines (up to 7 skew lines, the
number of such classes is already known).
In the talk we will present our main results.
This research is a joint work with Roland Bacher (Institut Fourier,
Grenoble).
- Juan Gonzalez-Meneses (Universidad de Sevilla).
Minimal set of generators for the centraliser of a braid.
This is a joint work with Bert Wiest.
Using the well known Nielsen-Thurston classification of braids,
we describe a minimal set of generators for the centralizer
of an element in Bn.
We also show that the cardinal of this set is always smaller than n(n-1)/2.
- Christian Kassel (IRMA - Université Louis Pasteur, Strasbourg).
Le lieu singulier des variétés de Schubert.
L'exposé portera sur un travail en collaboration avec Alain
Lascoux et Christophe Reutenauer dans lequel nous résolvons un problème
qui était ouvert depuis un certain temps, à savoir celui de la
détermination du lieu singulier d'une variété de Schubert de type A.
De telles variétés sont indexées par les éléments du groupe symétrique
Sn.
Le lieu singulier d'une variété de Schubert Xs correspondant à une
permutation s est la réunion de variétés de Schubert
Xt (incluses dans Xs )
où t parcourt un ensemble Sg(s) de permutations. Les éléments maximaux
de Sg(s) relatifs à l'ordre de Bruhat correspondent aux composantes
irréductibles du lieu singulier de Xs. Nous résolvons le problème
mentionné plus haut en caractérisant les éléments maximaux de Sg(s). Notre
caractérisation se fait en termes de certains graphes planaires. Les
éléments maximaux de Sg(s) sont de trois types différents, chaque type
étant invariant par inversion des permutations et par conjugaison par
l'élément le plus long de Sn.
- Yves Lafont (Institut de Mathématiques de Luminy).
Homologie des groupes Gaussiens 2.
Travail en collaboration avec Patrick Dehornoy.
Un groupe G est dit gaussien si c'est le groupe de fractions d'un
monoïde avec PPCM. C'est le cas par exemple des groupes de tresses, et
plus généralement, des groupes d'Artin. On a alors un "algorithme de
redressement" qui permet de résoudre le problème du mot pour G, mais
aussi de calculer l'homologie de G de façon purement algébrique. Lors
d'une précédente rencontre à Berder, Patrick Dehornoy a présenté une
résolution de Z par des ZG-modules libres construite avec cet
algorithme. Je vais en présenter une autre plus "petite", inspirée par
la théorie des invariants associés aux systèmes de réécriture, qui est
due notamment à Squier et Kobayashi.
- Gregor Masbaum (Equipe de Topologie et Géométrie Algébriques
/ Institut de Mathématiques de Jussieu ).
Unimodular representations of mapping class groups in TQFT.
Quantum invariants of 3-manifolds give rise to
finite-dimensional representations of (central extensions) of mapping
class groups. These representations can be defined over number fields, and
preserve a non-degenerate Hermitian form. For the SO(3)-theories at odd
primes and for surfaces of genus one and two, we describe an explicit
mapping class group invariant full lattice defined over the corresponding
ring of integers. The mapping class group acting on this lattice
preserves a related Hermitian form which is unimodular over the
ring of integers.
(Joint work with P. Gilmer and P. van Wamelen.)
- Luis Paris (Laboratoire de Topologie - Université de Bourgogne).
Expansion de Magnus pour les groupes d'Artin à angles droits.
L'expansion de Magnus est un homomorphisme introduit par Magnus
du groupe libre de rang n dans l'algèbre des séries formelles non
commutatives à n variables. Il est un outil important dans l'étude des
groupes libres. Il sert, en particulier, à démontrer que les groupes
libres sont résiduellement nilpotents, biordonnables et Hopfiens et
permettent de déterminer les gradués des groupes libres. Dans cet exposé
nous nous proposons de montrer qu'un tel homomorphisme existe aussi pour
les groupes d'Artin à angle droits, qu'il est injectif, et qu'il permet de
démontrer que ces groupes sont résiduellement nilpotents, biordonnables et
Hopfiens, et que leurs gradués associés sont des algèbres de Lie admettant
les même présentations que les groupes.
- Colin Rourke (University of Warwick).
Why the Poincare conjecture is so hard.
I will outline the Rubinstein-Thompson algorithm to detect
the 3-sphere and explain why there are extremely complicated
presentations of the 3-sphere. This complication is compounded for
homotopy 3-spheres and explains why the conjecture is so hard.
- Mario Salvetti (Université de Pise).
Cohomology of braid groups and symmetric groups.
The natural homomophism between the cohomology of the symmetric
group and that of the braid group can be used to estimate
the Schwartz genus of the associated covering
k ( Pn , 1) →
k ( Bn , 1), the
Smale complexity of algorithms for finding roots of a polynomial, etc.
It was known that when n is a prime power, the homomorphism does not
vanish in top dimension so one gets a sharp bound.
We find that in the first not known case (n=6) this is not true, so the
genus is lower than what is expected. We use explicit free resolutions which
we got from topological constructions, working for any Coxeter group and
associated Artin group.
- Gilles Schaeffer (LORIA - Nancy).
Sur le nombre de noeuds et d'entrelacs premiers alternants.
Travail en collaboration avec Sébastien Kunz-Jacques.
Sundberg et Thistlethwaite en 1998 ont donné un encadrement
du nombre A(n) d'entrelacs premiers alternants à n
croisements en déterminant r et des constantes a,b
telles que
a n-7/2 r n < A(n) < b n-5/2 r n .
Nous étudions la structure des entrelacs premiers alternants à l'aide
d'un codage en terme d'arbres. Ceci permet de montrer que la fraction
des entrelacs qui admettent une symétrie est exponentiellement faible. On
en déduit que le comportement asymptotique
du nombre d'entrelacs est en fait
A(n) ~ c n-7/2 r n
où c et r sont des constantes algébriques explicites.
- Xavier Viennot (LaBRI - Bordeaux 1).
Combinatoire de l'algèbre de Temperley-Lieb nilpotente et fonctions
symétriques.
L'algèbre de Temperley-Lieb fut introduite en physique statistique en relation
avec le modèle de Potts. Il est bien classique qu'elle permet de définir le
polynôme de Jones associé à un noeud. L'algèbre de «Temperley-Lieb nilpotente»
en est un analogue gradué, ayant la même dimension (le nombre de Catalan) et
des bases similaires. Cette algèbre apparaît naturellement comme algèbre
d'opérateurs agissant sur le treillis de Young, c'est-à-dire les partitions
d'entiers visualisées par des diagrammes de Ferrers. Nous donnons ici des
applications combinatoires, notamment vers la théorie des fonctions symétriques.
Nous établissons un lien entre les fonctions de Schur (gauches) et les
décompositions réduites dans l'algèbre de Temperley-Lieb nilpotente. Nous
montrons la relation existant entre deux interprétations «géométriques»
relatives aux fonctions de Schur (gauches) : d'une part celle bien classique
relative à l'identité de Trudi-Jacobi avec des configurations de chemins ne se
coupant pas, d'autre part celle relative à la partie stable des polynômes de
Schubert telle qu'exposée par Fomin et Kirillov dans le cas des permutations
sans décroissance de longueur trois. Cette dernière construction est décrite en
termed de tresses et est basée sur une interprétation géométrique bien connue de
l'équation de Yang-Baxter. Cet exposé résulte d'un travail commun avec Sergey
Fomin.
- Marco Zunino (IRMA - Université Louis Pasteur, Strasbourg).
Quantum double of crossed structures.
Starting from a Turaev crossed group category C, we contruct a
braided group category Z(C) and a ribbon group category D(C).
These construction provides, respectively, an analog of the
Joyal-Street center construction for a tensor category and
of the Kassel-Turaev categorical quantum double.
Starting from a crossed group Hopf coalgebra H, we construct
an analog D(H) of the Drinfeld quantum double of an Hopf algebra.
Similarly, we generalized the Reshetiknin-Turaev ribbon extension.
We study the relation between categorical and algebraic
constructions by introducing the category of Yetter-Drinfeld
modules over a crossed group category.