Le passeport 12 correspond à deux arbres,
non symétriques.
On peut donc attendre une orbite quadratique
associée à un corps quadratique réel.
On pose :
et on obtient les équations
(chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :
Le calcul d'une base de Groebner
(ou toute autre méthode d'élimination)
fournit la relation :
Fixer a1 = 0 implique a0 = 0, et ne convient pas ; on peut donc sans risque poser a1 = 1,
d'où le polynôme de Shabat :
où u désigne l'une des racines du polynôme :
qui sont :
Le corps de définition est un corps quadratique réel comme prévu.
Le passeport 13 correspond à un seul arbre,
les coefficients du polynôme de Shabat seront donc rationnels.
On pose (en respectant la symétrie du passeport) :
et on obtient les équations
(chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :
d'où le polynôme de Shabat (après développement):
Noter qu'exceptionnellement ce polynôme ne s'annule pas en 0,
car nous avons choisi de respecter la symétrie du passeport,
en plaçant les sommets de degré 4 en -1 et 1.
Le passeport 14 correspond à trois arbres.
On pose :
et on obtient les équations
(chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :
d'où le polynôme de Shabat :
où b est racine du polynôme cubique irréductible :
obtenu en éliminant les ci entre les trois dernières équations.
Ce polynôme admet une seule racine réelle,
le dessin correspondant est celui du haut ;
les deux autres dessins, symétriques par réflexion, correspondent aux
racines complexes conjuguées.
Le passeport 15 correspond à un seul arbre,
les coefficients du polynôme de Shabat seront donc rationnels.
On pose :
et on obtient les équations
(chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :
d'où le polynôme de Shabat :