Le vendredi, de 10h40 à 11h40, dans l'amphithéâtre du LaBRI.
L'exposé précédent du 12 mai, était essentiellement consacré à la démonstration
du théorème de Kasteleyn, à savoir que tout graphe planaire admet une orientation
"admissible" de ses arêtes, c'est-à-dire une orientation permettant de ramener le
dénombrement des couplages parfaits à un calcul de Pfaffien.
Dans ce deuxième exposé, je développerai ce que j'ai dit très brièvement dans les
cinq dernières minutes, à savoir les méthodes bijectives pour le dénombrement des
couplages parfaits.
Je commencerai par un rappel du modèle d'Ising pour le ferromagnétisme et
donnerai une idée de sa résolution combinatoire par Kasteleyn et Fisher, ramenant
le modèle à un dénombrement de couplages parfaits, puis à un calcul de Pfaffien.
Deux types de méthodes permettent de ramener les couplages parfaits à des
configurations de chemins ne se coupant pas.
Une première méthode (par "éclatement" des chemins) est inspirée des bijections
introduites par les physiciens pour la résolution combinatoire du modèle d'Ising.
Une deuxième méthode (que j'appelle "traversée de la piscine olympique") part des
"pavages" associés aux couplages parfaits.
Je donne deux exemples fondamentaux : les pavages d'un rectangle par des dominos
et les pavages d'un hexagone par des losanges (ou "calissons").
D'autres bijections ramènent ces derniers pavages à des tableaux de Young ou des
partitions planes.
Enfin je donnerai un aperçu de la belle preuve bijective donnée très récemment
par Volker Strehl pour la formule de Kasteleyn-Fisher-Temperley donnant le nombre
de couplages parfaits d'une grille rectangulaire.
Cette preuve interprète ce nombre comme un résultant de deux polynômes de
couplages.
| n psi_p(n) | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ---------|------------------------------------------------------- 1 | 2 1 2 3 6 9 18 30 56 2 | 3 3 8 18 48 116 312 810 2184 3 | 4 6 20 60 204 670 2340 8160 29120 4 | 5 10 40 150 624 2580 11160 48750 217000 p 5 | 6 15 70 315 1554 7735 39990 209790 1119720 6 | 7 21 112 588 3360 19544 117648 720300 4483696 7 | 8 28 168 1008 6552 43596 299592 2096640 14913024 8 | 9 36 240 1620 11808 88440 683280 5380020 43046640 9 | 10 45 330 2475 19998 166485 1428570 12498750 111111000 10 | 11 55 440 3630 32208 295020 2783880 26793030 261994040En y regardant de près, on observe quelques motifs sur chaque ligne du tableau. Plus précisément, pour p >= 3 et n >= 0, on a psi_p(n+1) > 2 * psi_p(n), à condition que n >= 1 si p = 3. Pour p = 2, cette inégalité ne tient pas. Cependant, on a psi_2(n+1) > psi_2(n) + psi_2(n-1), pour n >= 4.