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Solution

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Soit $ X$ le nombre d'individus marqués parmi les $ n$ capturés.
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$ X$ suit une loi hypergéométrique.
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Idée, estimée $ N$ à partir des valeurs expérimentales de $ X$.
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La méthode est appelée méthode de dilution ou de capture-recapture.

$ X$ suit une loi hypergéométrique de parmètre $ N,n,p$, d'où:

$\displaystyle P_N(X=k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\binom{Np}{k}\binom{Nq}{n-k}}{\binom{N}{n}}$  

Expérimentalement on relève la valeur $ a=Np$ (ou $ b=N-a$) d'où :
$\displaystyle P_N(X=k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\binom{a}{k}\binom{b}{n-k}}{\binom{N}{n}}$  

On choisit $ N$ tel que $ P_N(X=k)$ soit maximum (méthode du maximum de vraissemblance).

On considère le rapport :

$\displaystyle \frac{P_N(X=k)}{P_{N-1}(X=k)}
$

En supposant qu'on a relevé $ a$, alors pour calculer $ P_N$, $ b=N-a$ et pour calculer $ P_{N-1}$, $ b=N-1-a$ :

$\displaystyle \frac{P_N(X=k)}{P_{N-1}(X=k)}
$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\binom{a}{k}\binom{N-a}{n-k}}{\binom{N}{n}}\times
\frac{\binom{N-1}{n}}{\binom{a}{k}\binom{N-1-a}{n-k}}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{N-a}{N-a-n+k}\times\frac{N-n}{N}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{N^2-an-nN+an}{N^2-aN-nN+kN}$  

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Le rapport $ \frac{P_N(X=k)}{P_{N-1}(X=k)}$ est $ >1$ si $ N<na/k$;
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Le rapport $ \frac{P_N(X=k)}{P_{N-1}(X=k)}$ est $ <1$ si $ N>na/k$;
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d'où $ P_N(X=k)$ est maximal pour $ N=na/k$.

Application Au cours d'une première capture on prélève $ a=160$ vairons que l'on marque et relâche. Au cours de la seconde capture, $ n=150$ vairons sont prélevés dont $ 15$ marqués. On estime donc à

$\displaystyle N= \frac{160\times 150}{15} = 1600
$

le nombre total de vairons.
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Pascal Ferraro 2002-11-22