User Tools

Site Tools


chicoutimi_2016:calcul_matriciel

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revision Previous revision
chicoutimi_2016:calcul_matriciel [2016/05/07 14:57]
melancon [Calcul matriciel, graphes et chemins]
chicoutimi_2016:calcul_matriciel [2016/05/07 15:06] (current)
melancon
Line 68: Line 68:
  
 Représentez graphiquement le graphe correspondant. Représentez graphiquement le graphe correspondant.
 +
 +
 +==== Vecteurs propres et valeurs propres ====
 +
 +On a mentionné qu'une matrice carrée peut être vue comme un opérateur agissant sur les vecteurs $P: \pi \to P \cdot \pi$.
 +
 +Parmi tous les vecteurs, certains ont un rôle particuliers,​ ce sont ceux qui sont invariants sous l'​effet de la matrice. ON les appelles les //vecteurs propres//:
 +
 +$$P \cdot \pi = \lambda_{\pi} \cdot \pi$$
 +
 +dont l'​effet de $P$ correspond à une homothétie (pas de changement de direction, seulement un étirement ou compression du vecteur). La valeur scalaire $\lambda_{\pi}$ est appelée une //valeur propre// associée au vecteur propre $\pi$.
 +
 +Ces vecteurs et valeurs propres jouent un rôle dans le calcul de différentes statistiques sur les graphes comme nous le verrons.
 +
 +Dans la plupart des cas (tous, en réalité), nous considérerons des matrices dont les entrées (poids des arêtes) sont tous positifs. Dans ce cas, on peut montrer (c'est le théorème de Perron-Frobenius) que la matrice admet toujours une valeur propre réelle et positive et que les coordonnées du vecteur propre sont toutes positives aussi; que la valeur propre est la valeur maximum (pour être précis: de module maximum, car certaines valeurs propres peuvent être des nombres complexes, puisque les valeurs propres sont des solutions d'une équation polynomiale dérivées de la matrice).
  
/net/html/perso/melancon/Visual_Analytics_Course/data/pages/chicoutimi_2016/calcul_matriciel.txt · Last modified: 2016/05/07 15:06 by melancon