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IUP MIAGE
IUP3 Recherche Opérationnelle I
TD6: 14 et 16/12/1999


\begin{displaymath}\begin{array}{c\vert rrrrrrrrrrrr}
&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&1...
...0& 0 &0&0&0&0\\
12& 0&0&0.5&0.5& 0 &0&0&0&0 &0&0&0
\end{array}\end{displaymath}

1.
Dans la chaîne de Markov dont la matrice de transitions est donnée, il y a une classe de passage, une classe finale apériodique et une classe finale périodique. Donnez la liste des états de chacune de ces trois classes et la période et la division en sous-classes de la classe périodique.

Etats: 1,8; de passage
Etats: 3,4,12; finale apériodique
Etats: (2,7), (6,9,10), (5,11); finale périodique de période 3.

2.
Quelle est la distribution stationnaire de la classe finale apériodique?

3/9, 4/9, 2/9 pour les états 3,4, 12.

3.
Si l'état initial est 1, quelle est la probabilité d'entrer dans la classe finale apériodique?

p1=.3+0.5p8p8=.4+0.2p1; donc p1=.55555...

4.
Choisissez un état de la classe finale périodique et calculez la probabilité asymptotique d'être dans cet état quand le nombre de transitions est un multiple de la période.

Je choisis l'état 2 (et je suppose toujours que l'état 1 est initial):
Dans la puissance 3 de la matrice les seuls éléments intéressants sont:

\begin{displaymath}\begin{array}{c\vert rrrr}
&1&2&7&8\\ \hline
1& 0&0.02&0&0.05...
...& .58&0\\
7& 0& 0.7& 0.3& 0\\
8& 0.02&0.04&0&0\\
\end{array}\end{displaymath}

Les équations pour les probabilités d'être dans la sous-classe {2,7} après 3t transitions (dans la limite) sont: p1=0.02+0.05p8p8=0.04+0.02p1 avec solution p1=0.22 x (1000/999) La distribution limite à l'intérieur de la sous-classe est 70/128,58/128
Donc la probabilité demandée est de 0.22 x (1000/999) x (70/128).



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Mike ROBSON
2000-11-28