\
http://dept-info.labri.fr/~
robson/
Modèles de systèmes qui évoluent dans le temps selon des transitions probabilistes
Exemple: jouer au Pile ou Face
D'abord j'ai 3 francs et mon opposant a aussi 3 francs
A chaque tour j'ai une probabilité de gagner un franc et
une probabilité
de perdre un franc mais un joueur sans argent
ne peut plus miser
L'``état'' du système est combien d'argent j'ai (0,1,2,3,4,5 ou 6)
Les transitions possibles sont:
Un ensemble d'états possibles
Transitions à des moments de temps discrets
Probabilité de transition de l'état à l'état
(à moment
)
ne dépend pas de l'histoire (c-à-d des états antérieurs)
Ici on ne considère que les chaînes finies (nombre d'états fini) et
homogènes (probabilité de transition d'état à l'état
ne dépend
pas de
).
On veut savoir, par exemple, le pourcentage des demandes qui échouent (faute d'assez de camions dans la ville de la demande).
On suppose la probabilité chaque jour
d'une demande totale qui nécessite
exactement
camions de Bordeaux à Paris et
la même
probabilité dans la direction inverse.
Et on suppose que les demandes dans les 2 villes sont indépendantes.
Il y a états selon le nombre de camions sur Bordeaux (la nuit).
La probabilité d'une transition de l'état à l'état
:
:
:
:
:
etc.
On note la probabilité d'une transition de l'état
à l'état
à un moment et
la matrice de ces probabilités.
Une matrice vérifiant les deux propriétés évidentes:
pour tout
et
est une
On note la probabilité d'une transition de l'état
à l'état
dans
transitions et
la matrice de ces probabilités.
Dans le jeu de Pile ou Face et
sont des états persistants; les autres
sont transitoires.
Dans le système des camions ça dépend des probabilités:
si et les autres probabilités sont non-nulles,
et
sont des états transitoires et tous les autres sont
persistants..
On parle aussi des états ergodiques, c'est-à-dire ceux pour lesquels
le temps moyen du premier retour à l'état après être
arrivé une fois en
est
fini. Pour les chaînes finies il n'y a pas de différence entre persistant
et ergodique.
Un état est périodique avec période
si chaque cycle
de
à
comporte un nombre de transitions qui est un multiple de
(et
est l'entier maximum (supérieur à
)
avec cette propriété), c'est-à-dire le plus grand diviseur
commun
des longueurs de tous les cycles qui contiennent
.
Les chemins dans ce graphe correspondent aux transitions possibles en plusieurs étapes (ou 1 ou 0).
Important: les composants fortement connexes
(ensemble maximal de sommets tel qu'il existe un chemin de chacun à chaque autre)
Le système entrera (avec probabilité 1) dans un composant sans sortie
et ensuite devra y rester;
Les états d'un tel composant constituent une petite chaîne où tous les états
sont persistants (donc ergodiques)
S'il y a un seul composant fortement connexe la chaîne est irréductible
Tous les états d'un composant sont du même type: tous persistants
(une classe finale d'états) ou tous transitoires (une classe de passage);
Un autre graphe (sommets les composants du premier; arcs correspondant aux
transitions entre composants) suffit pour montrer dans quels composants
le système peut finir étant donné un état initial
Si l'un des états d'un composant est périodique avec période ,
c'est vrai pour tous.
On peut diviser les états en classes:
,
de telle façon que chaque transition est d'une classe
à
(ou de
à
); les chemins de longueur
donnent
une chaîne à l'intérieur de chaque
où tous les états sont
persistants et apériodiques.
L'étude du comportement du système a été réduite à deux questions:
l'étude des systèmes ergodiques et apériodiques; et la question de dans
quelle sous-chaîne on peut finir et avec quelle probabilité.