Evènement pour le groupe Combinatoire Énumérative et Algébrique


Date 2018-03-02  10:45-11:45
TitreDiagrammes de Voronoï dans les arbres et cartes aléatoires d'excès fini. 
RésuméPour G_n un graphe aléatoire (selon un certain modèle) à n sommets, et pour k sommets (k>=2 étant fixé) de G_n pris au hasard, on considère la partition associée en k cellules de Voronoï C_1,...,C_k et le vecteur V_n^(k)=|C_1|/n,...,|C_k|/n donnant la répartition des masses des cellules. Le modèle est dit asymptotiquement uniforme pour Voronoï si la distribution limite de V_n^(k) est la loi uniforme sur le simplexe {x_1+...+x_k=1, x_i>=0}. Plusieurs modèles d'aspects très différents possèdent ou semblent posséder cette propriété, notamment le graphe complet K_n avec des longueurs d'arêtes suivant des lois exponentielles, et plus récemment il a été conjecturé par Guillaume Chapuy que c'est le cas pour les cartes aléatoires de genre g (avec la preuve que certains moments joints sont bien en adéquation avec la loi uniforme), ce qui a été récemment prouvé par Emmanuel Guitter pour le cas {g=0, k=2}. Nous montrerons ici que la propriété d'uniformité est vraie pour les arbres aléatoires et plus généralement pour les cartes unicellulaires de genre g. La preuve repose sur une bijection, tout d'abord formulée pour les arbres plans avec k coins marqués, qui envoie (modulo des termes d'erreur o(1)) le vecteur de masses des cellules de Voronoï vers le vecteur donnant les longueurs d'intervalles pour la partition du contour selon les coins marqués. Cette bijection admet une extension naturelle aux cartes de genre et excès fixés, qui permet d'obtenir la propriété d'uniformité pour les cartes unicellulaires de genre g. Travaux en commun avec Louigi Addario-Berry, Omer Angel, Guillaume Chapuy et Christina Goldschmidt. 
Lieu076 
OrateurÉric Fusy 
Emailfusy@lix.polytechnique.fr 
UrlLIX, École Polytechnique 



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