Arbres avec 7 arêtes, passeports 1 à 6

On appelle passeport un assortiment de degrés.

Les cinq premiers passeports correspondent chacun à un seul arbre, donc ceux-ci sont rationnels : leurs polynômes de Shabat ont des coefficients rationnels. Pour les quatre premiers, les calculs sont immédiats, et sont des cas particuliers d'une série générale :

[Maple Math]

Le calcul de P5 est facile à la main (mais on peut aussi utiliser Maple, comme ci-dessous), on place le sommet noir de degré 5 en 0, donc le polynôme est de la forme :

>P := z^5 * (z^2 + a*z + b);

[Maple Math]

on le dérive :

>dP := factor (diff (P, z) );

[Maple Math]

Pour que le point critique blanc de degré 3 ait pour affixe 1, il faut et il suffit que dP soit divisible par (z-1)2, soit a = - 7/3, b = 7/5, ce qui donne la valeur suivante pour P5 :

[Maple Math]


Le passeport 6 correspond à une orbite quadratique. Voici les calculs (A désigne le polynôme dont les racines sont les sommets noirs, B désigne le polynôme dont les racines sont les sommets blancs, A-B est une constante, ce qui équivaut à l'égalité des dérivées dA et dB ) :

[Maple Math]
[Maple Math] [Maple Math]

d'où les équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :

[Maple Math]

Les équations 1 et 2 donnent une correspondance linéaire entre les feuilles noires et les sommets doubles blancs. Les équations 3 à 6 permettent de calculer B ; il y a quatre équations pour cinq inconnues, car aucun sommet blanc n'a encore été fixé. En éliminant les ci , on obtient :

[Maple Math]

Cette relation est quadratique en b0 et biquadratique en b1 , ce qui exprime seulement que fixer b0 (produit des racines blanches doubles) ne fixe pas la figure, pour des raisons de symétrie ; il faut fixer b1 (somme des racines blanches doubles), et comme b1 = 0 implique b0 = 0, ce qui est inadmissible (0 est l'affixe du sommet noir de degré 5), on peut choisir b1 = 1. Le polynôme de Shabat vaut donc :

[Maple Math]

u désigne l'une des racines du polynôme :

[Maple Math]

qui sont :

[Maple Math]

Le corps de définition est un corps quadratique réel (discriminant positif), les deux arbres de cette orbite ne se déduisent pas l'un de l'autre par symétrie.


Arbres avec 7 arêtes, suite : passeports 7 à 11.