Les cinq premiers passeports correspondent chacun à un seul arbre, donc ceux-ci sont rationnels : leurs polynômes de Shabat ont des coefficients rationnels. Pour les quatre premiers, les calculs sont immédiats, et sont des cas particuliers d'une série générale :
Le calcul de P5 est facile à la main
(mais on peut aussi utiliser Maple, comme ci-dessous),
on place le sommet noir de degré 5 en 0,
donc le polynôme est de la forme :
on le dérive :
Pour que le point critique blanc de degré 3 ait pour affixe 1,
il faut et il suffit que dP soit divisible par (z-1)2,
soit a = - 7/3, b = 7/5, ce qui donne
la valeur suivante pour P5 :
Le passeport 6 correspond à une orbite quadratique.
Voici les calculs
(A désigne le polynôme dont les racines sont les sommets noirs,
B désigne le polynôme dont les racines sont les sommets blancs,
A-B est une constante, ce qui équivaut à l'égalité des
dérivées dA et dB ) :
d'où les équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :
Les équations 1 et 2 donnent une correspondance linéaire
entre les feuilles noires et les sommets doubles blancs.
Les équations 3 à 6 permettent de calculer B ; il y a quatre équations pour cinq inconnues, car aucun sommet blanc n'a encore été fixé.
En éliminant les ci , on obtient :
Cette relation est quadratique en b0 et biquadratique en b1 ,
ce qui exprime seulement que fixer b0
(produit des racines blanches doubles)
ne fixe pas la figure, pour des raisons de symétrie ;
il faut fixer b1 (somme des racines blanches doubles),
et comme b1 = 0 implique b0 = 0,
ce qui est inadmissible (0 est l'affixe du sommet noir de degré 5),
on peut choisir b1 = 1.
Le polynôme de Shabat vaut donc :
où u désigne l'une des racines du polynôme :
qui sont :
Le corps de définition est un corps quadratique réel
(discriminant positif),
les deux arbres de cette orbite ne se déduisent pas l'un de l'autre par
symétrie.
Arbres avec 7 arêtes, suite :
passeports 7 à 11.
>P := z^5 * (z^2 + a*z + b);
>dP := factor (diff (P, z) );