Le passeport 7 correspond à une orbite quadratique. Comme
les deux arbres ne diffèrent que par le sens de parcours autour
du sommet blanc triple, on peut attendre que le corps de nombres
associé soit un corps quadratique imaginaire (discriminant négatif).
Voici les calculs
(A désigne le polynôme dont les racines sont les sommets noirs,
B désigne le polynôme dont les racines sont les sommets blancs,
A-B est une constante, ce qui équivaut à l'égalité des
dérivées dA et dB) :
d'où les équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :
Les deux premières fournissent les ai
(affixes des sommets noirs autres que l'origine),
les quatre dernières fournissent les bi
(affixes des feuilles blanches). Le polynôme de Shabat vaut :
où u désigne l'une des racines du polynôme :
qui sont :
Le corps de définition est un corps quadratique imaginaire comme prévu,
les deux arbres de cette orbite se déduisent l'un de l'autre par
réflexion par rapport à l'axe des x.
Le passeport 8 correspond à quatre arbres. On pose :
et on obtient
la liste d'équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :
Le calcul d'une base de Groebner
(c'est le plus simple à écrire en Maple,
mais on pourrait aussi exprimer b0 et b1
en fonction de a, grâce aux deux premières équations,
puis éliminer les ci entre les quatre dernières équations,
considérées comme un sytème linéaire à trois inconnues
c0 , c1 , c2 ) :
fournit a comme racine
du polynôme :
qui se factorise comme indiqué ci-dessus. Nous avons donc un exemple
d'une classe de 4 arbres, avec le même passeport,
qui se décompose en deux orbites (sous l'action du groupe de Galois).
Les valeurs possibles
pour a, dans le polynôme de Shabat A, sont :
La première orbite (arbres du haut sur le dessin) correspond
à un corps quadratique réel (discriminant positif),
la seconde (arbres du bas sur le dessin)
à un corps quadratique imaginaire (discriminant négatif),
et dans ce dernier cas
les deux arbres se déduisent l'un de l'autre par
réflexion par rapport à l'axe des x.
Le passeport 9 correspond à un seul arbre,
les coefficients du polynôme de Shabat seront donc rationnels.
On pose :
et on obtient les équations
(chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :
d'où le polynôme de Shabat :
Le passeport 10 correspond à deux arbres,
qui diffèrent seulement par l'orientation autour de l'un
des sommets noirs de degré trois.
On peut donc attendre une orbite quadratique
associée à un corps quadratique imaginaire.
On place le milieu des deux sommets noirs de degré trois à l'origine,
on pose donc :
et on obtient les équations
(chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :
Le calcul d'une base de Groebner
(ou toute autre méthode d'élimination)
fournit la relation :
Fixer a1 = 0 implique a0 = 0, et ne convient pas ; on peut donc sans risque poser a1 = 1 (remarquer qu'il faut être prudent avant de prendre
ce genre de décision qui fixe la figure),
d'où le polynôme de Shabat :
où u désigne l'une des racines du polynôme :
qui sont :
Le corps de définition est un corps quadratique imaginaire comme prévu,
les deux arbres de cette orbite se déduisent l'un de l'autre par
réflexion par rapport à l'axe des x.
Le passeport 11 correspond à un seul arbre,
les coefficients du polynôme de Shabat seront donc rationnels.
On pose :
et on obtient les équations
(chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :
d'où le polynôme de Shabat :
Arbres avec 7 arêtes :
>gbasis (leq, plex (c[0], c[1], c[2], b[0], b[1], a));