Arbres avec 7 arêtes, passeports 7 à 11

On appelle passeport un assortiment de degrés.

Le passeport 7 correspond à une orbite quadratique. Comme les deux arbres ne diffèrent que par le sens de parcours autour du sommet blanc triple, on peut attendre que le corps de nombres associé soit un corps quadratique imaginaire (discriminant négatif). Voici les calculs (A désigne le polynôme dont les racines sont les sommets noirs, B désigne le polynôme dont les racines sont les sommets blancs, A-B est une constante, ce qui équivaut à l'égalité des dérivées dA et dB) :

[Maple Math] [Maple Math] [Maple Math]

d'où les équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :

[Maple Math]

Les deux premières fournissent les ai (affixes des sommets noirs autres que l'origine), les quatre dernières fournissent les bi (affixes des feuilles blanches). Le polynôme de Shabat vaut :

[Maple Math]

u désigne l'une des racines du polynôme :

[Maple Math]

qui sont :

[Maple Math]

Le corps de définition est un corps quadratique imaginaire comme prévu, les deux arbres de cette orbite se déduisent l'un de l'autre par réflexion par rapport à l'axe des x.


Le passeport 8 correspond à quatre arbres. On pose :

[Maple Math]

et on obtient la liste d'équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :

[Maple Math]

Le calcul d'une base de Groebner (c'est le plus simple à écrire en Maple, mais on pourrait aussi exprimer b0 et b1 en fonction de a, grâce aux deux premières équations, puis éliminer les ci entre les quatre dernières équations, considérées comme un sytème linéaire à trois inconnues c0 , c1 , c2 ) :

>gbasis (leq, plex (c[0], c[1], c[2], b[0], b[1], a));

fournit a comme racine du polynôme :

[Maple Math]

qui se factorise comme indiqué ci-dessus. Nous avons donc un exemple d'une classe de 4 arbres, avec le même passeport, qui se décompose en deux orbites (sous l'action du groupe de Galois). Les valeurs possibles pour a, dans le polynôme de Shabat A, sont :

[Maple Math]

La première orbite (arbres du haut sur le dessin) correspond à un corps quadratique réel (discriminant positif), la seconde (arbres du bas sur le dessin) à un corps quadratique imaginaire (discriminant négatif), et dans ce dernier cas les deux arbres se déduisent l'un de l'autre par réflexion par rapport à l'axe des x.


Le passeport 9 correspond à un seul arbre, les coefficients du polynôme de Shabat seront donc rationnels. On pose :

[Maple Math]

et on obtient les équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :

[Maple Math]

d'où le polynôme de Shabat :

[Maple Math]


Le passeport 10 correspond à deux arbres, qui diffèrent seulement par l'orientation autour de l'un des sommets noirs de degré trois. On peut donc attendre une orbite quadratique associée à un corps quadratique imaginaire. On place le milieu des deux sommets noirs de degré trois à l'origine, on pose donc :

[Maple Math]

et on obtient les équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :

[Maple Math]

Le calcul d'une base de Groebner (ou toute autre méthode d'élimination) fournit la relation :

[Maple Math]

Fixer a1 = 0 implique a0 = 0, et ne convient pas ; on peut donc sans risque poser a1 = 1 (remarquer qu'il faut être prudent avant de prendre ce genre de décision qui fixe la figure), d'où le polynôme de Shabat :

[Maple Math]

u désigne l'une des racines du polynôme :

[Maple Math]

qui sont :

[Maple Math]

Le corps de définition est un corps quadratique imaginaire comme prévu, les deux arbres de cette orbite se déduisent l'un de l'autre par réflexion par rapport à l'axe des x.


Le passeport 11 correspond à un seul arbre, les coefficients du polynôme de Shabat seront donc rationnels. On pose :

[Maple Math]

et on obtient les équations (chacun des 6 termes ci-dessous doit être nul) :

[Maple Math]

d'où le polynôme de Shabat :

[Maple Math]


Arbres avec 7 arêtes :