Définition 11
Soit les deux fonctions suivantes à valeur dans :
La courbe de concentration de la variable aléatoire X définie par
la fonction de répartition F est la ligne polygonale
où
est le point d'abscisse et d'ordonnée (moment
d'ordre incomplet).
Propriétés de la courbe de concentration :
-
Inscrite dans le carré de côté unité
-
Ascendante depuis l'oigine
-
tourne sa concavité vers le haut
-
La pente des segments successifs est croissante et est égale à
-
La courbe de concentration est toujours située en dessous de la
première bissectrice du carré puisque
.
Définition 12
Le coefficient de concentration
(ou coefficient de Gini) est défini comme le double de l'aire comprise
entre la première bissectrice du carré et la courbe de concentration.
Définition 13
Le coefficient de concentration est aussi égal à la différence absolue
moyenne,
Le coefficient de concentration est donc invariant par changement
d'échelle.
Propriétés et Interprétation
-
Première loi très concentrée (
)
-
Deuxième loi peu concentrée (
).
-
Supposons que ces deux lois représentent le nombre de fleurs
portées par des branches d'arbres.
la floraison est concentrée sur une faible proportion de
branches
la floraison se répartie sur l'ensemble des branches.
-
L'indice de concentration n'est pas invariant par changement
d'origine
-
L'indice de concentration n'est pertinent que pour des
variables aléatoires dont la plus petite valeur possible est
proche de 0.