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Caractéristiques de forme

Définition 14   A partir des moments centrés d'ordre $ 3$ et $ 4$, il est possible de calculer des caractéristiques de forme de la distribution d'une variable aléatoire $ X$ :
-
coefficient d'asymétrie :

$\displaystyle \gamma_1(X)=\frac{\mu_3(X)}{(\mu_2(X))^{\frac{3}{2}}} =
\frac{E((X-m_X)^3)}{\sigma_x ^3}
$

-
coefficient d'aplatissement :

$\displaystyle \gamma_2(X)=\frac{\mu_4(X)}{(\mu_2(X))^2}-3 =
\frac{E((X-m_X)^4)}{\sigma_x ^4} - 3
$

Propriétés

-
$ \gamma_1$ et $ \gamma_2$ sont des grandeurs sans dimension
-
$ \gamma_1$ et $ \gamma_2$ sont invariants par changement d'origine et d'échelle, c'est à dire par transformation linéaire :
$\displaystyle \gamma_1(aX+b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \gamma_1(X)$  
$\displaystyle \gamma_2(aX+b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \gamma_2(X)$  

-
Du fait de l'inégalité entre moments $ \mu_4(X)\geq \sigma_X ^4$, on a toujours $ \gamma_2(X)\geq -2$

Interprétation

-
Le coefficient d'asymétrie $ \gamma_1$ :
  • est négatif lorsque la distribution est étalée vers la gauche,
  • est nul si la distribution est symétrique,
  • est positif si la distribution est étalée vers la droite.
-
Le coefficient d'aplatissement $ \gamma_2$ :
  • est nul si la distribution est aplatie comme une loi normale,
  • est positif si la distribution est plus aplatie qu'une loi normale
  • est négatif sinon.


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Pascal Ferraro 2002-11-22