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Théorème de la limite centrale

Soit $ X_1,X_2,\ldots,X_n$, $ n$ variables aléatoires indépendantes de même loi, de moyenne $ m_X$ et de variance $ v_x$. Soit $ Y$ la somme cumulée :

$\displaystyle Y =X_1+\ldots+X_n
$

-
La moyenne de $ Y$ est alors $ m_Y=nm_X$ et son écart type $ \sigma_Y^2 = n \sigma_X^2$.

Théorème 1   la variable aléatoire centrée réduite $ (Y-m_Y)/\sigma_Y$ déduite de la variable aléatoire $ Y$ converge en loi, lorsque $ n\rightarrow
\infty$ vers la loi normale centrée réduite.

Le théorème de la limite centrale affirme donc que :

$\displaystyle P(a<\frac{Y-m_Y}{\sigma_Y}<b) \underset{n\rightarrow
\infty}{\lon...
...htarrow} \int_a^b
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}dx \qquad \forall a<b
$



Pascal Ferraro 2002-11-22