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Solution

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$ X$ désigne la variable aléatoire: ``Nombre d'analyses effectuées'';
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Pour chaque groupe, $ A$ est l'évènement : ``Un, au moins des échantillons contient $ C$''.
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$ Y$ désigne la variable aléatoire: ``Nombre de réalisation de $ A$ dans les $ k$ groupes.
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On a : $ X = k+nY$
$ Y$ suit la loi binomiale $ B(0,k,p_A)$ $ \Rightarrow$ Déterminer $ p_A$ et en déduire les caractéristiques de $ Y$ puis de $ X$.

La probabilité qu'aucun des $ n$ échantillons d'un goupe ne contienne le corps $ C$ est :

$\displaystyle p_{\bar{A}} = q^n
$

D'où :

$\displaystyle p_A = 1- q^n
$

Alors :

$\displaystyle P(Y=r) = \binom{k}{r} (1-q^n)^r (1-q)^{n(k-r)}
$

Comme $ X = k+nY$, on a $ P(X = k +nr)= P(Y=r)$, d'où :
$\displaystyle E(X)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{i=k}^{k+N}iP(X=i) = \sum_{r=0}^{k}(k+nr)P(X=k+nr)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{r=0}^{k}(k+nr)P(Y=r)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle k \sum_{r=0}^{k}P(Y=r) + n \sum_{r=0}^{k}rP(Y=r)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle k + n E(Y)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle k+nk(1-q^n)$  

Prenons par exemple $ N=200$, $ n=4$, $ k=50$ et $ p=0.05$

$\displaystyle E(X) = 50(1+4(1-0.95)^4)) = 87.14
$

Avec $ n=5$, on a :

$\displaystyle E(X) = 40(1+5(1-0.95)^5)) = 85.28
$

Le gain de travail, grâce à ce protocole est, en moyenne, très important lorsque $ p$ est petite.


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Pascal Ferraro 2002-11-22