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Solution

Il y a $ k$ survivants si et seulement si :

Le nombre d'oeufs pondus est supérieur (ou égal) à $ k$.

On suppose que l'insecte ponds $ n$ oeufs, avec $ n \geq k$.

La probabilité pour que l'insecte ponde $ n$ oeufs est :

$\displaystyle P(X=n) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^{n}}{n!}
$

Soit $ Y$ la variable aléatoire : nombre d'oeufs qui se développent parmi $ n$ oeufs pondus.

Soit $ A$ l'évènement:''l'oeuf considérer se développe''.

$ Y$ suit une loi binomiale $ B(n,p)$, d'où :

$\displaystyle P(Y=k)=\binom{n}{k}p^k q^{n-k}
$

La probabilité pour que l'insecte ponde $ n$ oeufs et que parmi ces $ n$ oeufs, $ k$ se développe est :

$\displaystyle e^{-\lambda} \frac{\lambda^n}{n!}\times \binom{n}{k}p^k q^{n-k}
$

On considère l'évènement: ``$ k$ oeufs survivent.''

Cet évènement peut se réalsier d'une infinité de manières:

-
l'insecte pond $ n=k$ oeufs et tous survivent.
-
l'insecte pond $ n=k+1$ oeufs et tous survivent sauf un.
-
l'insecte pond $ n=k+2$ oeufs et tous survivent sauf deux.
-
etc.


$\displaystyle P(k survivants)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{n=k}^\infty e^{-\lambda}
\frac{\lambda^n}{n!}\times \binom{n}{k}p^k q^{n-k}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-\lambda} p^k \sum_{n=k}^\infty
\frac{\lambda^n}{n!}\frac{n!}{k!(n-k)!}q^{n-k}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-\lambda} \frac{p^k \lambda^k}{k!} \sum_{n=k}^\infty
\frac{\lambda^{n-k}}{(n-k)!}q^{n-k}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-\lambda} \frac{(p \lambda)^k}{k!} \sum_{j=0}^\infty
\frac{(q \lambda^{j}}{(j)!}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-\lambda} \frac{(p \lambda)^k}{k!} e^{\lambda q}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-\lambda+\lambda q} \frac{(p \lambda)^k}{k!}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{-\lambda p} \frac{(p \lambda)^k}{k!}$  

Il s'agit donc d'une loi de poisson de paramètre $ \lambda p$

$\displaystyle P(k survivants) = e^{-\lambda p} \frac{(p \lambda)^k}{k!}
$


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Pascal Ferraro 2002-11-22