Arbres plans et polynômes de Shabat : catalogue

(Catalog of plane trees and Shabat polynomials)

Auteurs : J.Bétréma et A.Zvonkin

A.Grothendieck a observé que, pour toute carte combinatoire, il existe une surface de Riemann compacte de même genre, sur laquelle la carte peut être dessinée de façon canonique (à un automorphisme de cette surface près): c'est la théorie des dessins d'enfants.

Dans la suite un arbre considéré comme carte (planaire) combinatoire, c'est à dire défini par les permutations circulaires autour de ses sommets (voir exemples dans le catalogue) sera appelé arbre combinatoire. La théorie des dessins d'enfants implique, comme cas particulier, que tout arbre combinatoire possède un dessin canonique, à une similitude directe près ; de plus, elle fait apparaître une relation de conjugaison entre arbres combinatoires, qui ne se réduit à aucune autre relation connue aujourd'hui, et une action du groupe de Galois sur ces arbres, avec pour orbites les classes de conjugaison. Voir La vraie forme d'un arbre pour une introduction à cette théorie.

A tout arbre combinatoire A on associe un polynôme de Shabat P :

Pour faciliter la formulation et le test de conjectures, un catalogue exhaustif pour les arbres avec au plus 8 arêtes, a été réalisé en 1992 par J.Bétréma, D.Péré et A.Zvonkin, en utilisant Maple et un logiciel de dessin, sous X-Window, écrit par le premier des auteurs.

Voici une version électronique de ce catalogue :

Des tables résument les résultats, et les méthodes de calcul sont précisées dans un document à part, avec en particulier :