L'étude de la probabilité que des points tirés uniformément et indépendamment dans un domaine convexe d'aire 1 (dans le plan) soient en position convexe, c'est-à-dire forment l'ensemble des sommets d'un polygone convexe, remonte à la fin du 19e siècle et la conjecture de Sylvester pour 4 points, qui fut résolue par Blaschke en 1917. Depuis, des résultats plus généraux pour n points se sont succédés dans le carré, le triangle, le cercle, ainsi que d'autres résultats asymptotiques.
Dans cette présentation je donnerai un équivalent de la probabilité Pn que n points soient en position convexe dans n'importe quel polygone convexe régulier; jusqu'alors la formule la plus précise, due à Bárány (qui tient dans des conditions plus générales toutefois), identifiait la limite n2 Pn1/n.
Bárány a également prouvé qu'un polygone convexe uniforme tiré dans un convexe K converge vers un domaine déterministe. Toujours dans le cas des polygones réguliers, nous présentons des résultats du 2e ordre concernant les fluctuations de l'enveloppe convexe autour de ce domaine.