Dans ce premier exposé d'une série de deux, nous présenterons les plus petits ensembles connus de tuiles de Wang apériodiques et nous rappellerons leurs propriétés. Plus précisément, nous présenterons les ensembles suivants :
L'ensemble de 16 tuiles de Wang proposé par Ammann dans les années 1980.
Les ensembles de 14 et 13 tuiles de Wang proposés par Kari et Culik dans les années 1990.
Le plus petit ensemble de tuiles de Wang apériodique découvert par Jeandel et Rao en 2015.
Ces trois ensembles ont des propriétés différentes. En particulier :
- Les tuiles d'Ammann sont auto-similaires, mais pas les autres.
- Les étiquettes des tuiles de Kari et Culik satisfont à des équations, mais pas les autres.
- L'ensemble des pavages avec les tuiles de Kari et Culik est d'entropie strictement positive, mais pas les autres.
- Les pavages de Jeandel-Rao sont expliqués par une partition polygonale, mais a priori pas les autres.
Ces propriétés très différentes rendent difficile la création d'une théorie unifiée permettant d'expliquer tous les ensembles de tuiles apériodiques.