Pour chaque entier K, on définit SK l'ensemble des chemins de longueur K et de pas +1 ou -1 dans ZK. La marche aléatoire des K prisonniers est une marche aléatoire sur cet ensemble SK . Emmanuel Boissard, Serge Cohen, Thibault Espinasse et James Norris ont montré que les trajectoires du premier prisonnier se comportent globalement comme des marches aléatoires simples de variance inversement proportionnelle à la longueur K de la chaîne. L'enjeu est de comprendre ce qui se passe lorsque K tend vers l'infini : le comportement limite du premier prisonnier est "sous diffusif" mais on ne sait pas bien quantifier cette assertion.
Nous verrons comment on peut définir un processus limite naturel. Notamment, nous montrerons comment le calcul de sa probabilité de transition fait apparaître des fractions continues.
Cette famille de processus peut être vue comme une famille de marche aléatoires sur le graphe des configurations du modèle de la glace (carré(e)) (ou modèle à 6 vertex). Nous terminerons en expliquant comment faire le lien en vue d'exploiter cette connexion.
(Travail commun avec Serge Cohen, IMT/UT3)